Номер 237, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 237, страница 74.

237. Один ученик утверждает, что треугольник $ABC$ равнобедренный, а другой ученик – что треугольник $ABC$ равносторонний.

1) Могут ли оба ученика быть правыми?

2) В каком случае прав только один ученик и какой именно?

1) Могут ли оба ученика быть правыми?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определения равнобедренного и равностороннего треугольников.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. В нём по определению $AB = BC = AC$. Удовлетворяет ли он определению равнобедренного треугольника? Да, удовлетворяет, так как у него есть две равные стороны (на самом деле, даже три). Например, стороны $AB$ и $BC$ равны.

Таким образом, любой равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Если треугольник $ABC$ равносторонний, то утверждение первого ученика ("треугольник равнобедренный") истинно, и утверждение второго ученика ("треугольник равносторонний") также истинно.

Ответ: да, оба ученика могут быть правы, если треугольник $ABC$ является равносторонним.

2) В каком случае прав только один ученик и какой именно?

Рассмотрим две возможные ситуации, когда прав только один ученик.

Ситуация А: Прав только первый ученик.
Это означает, что утверждение "треугольник $ABC$ равнобедренный" истинно, а утверждение "треугольник $ABC$ равносторонний" — ложно. Такой случай возможен, если у треугольника равны только две стороны, а третья им не равна. Например, $AB = BC$, но $AB \ne AC$. В этом случае треугольник является равнобедренным, но не является равносторонним.

Ситуация Б: Прав только второй ученик.
Это означает, что утверждение "треугольник $ABC$ равносторонний" истинно, а утверждение "треугольник $ABC$ равнобедренный" — ложно. Как мы выяснили в первом пункте, эта ситуация невозможна. Если треугольник равносторонний, он по определению является и равнобедренным. Нельзя быть равносторонним, не будучи при этом равнобедренным.

Следовательно, единственная ситуация, когда прав только один ученик, — это когда треугольник $ABC$ равнобедренный, но не равносторонний. В этом случае прав первый ученик.

Ответ: только один ученик прав в том случае, если треугольник $ABC$ является равнобедренным, но не равносторонним. Прав будет тот ученик, который утверждал, что треугольник равнобедренный.

237. Биссектрисы $AM$ и $CK$ углов при основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\Delta AOC$ – равнобедренный.