Номер 238, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 238, страница 74.

238. Используя признаки равенства треугольников, докажите признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине.

Формулировка доказываемого признака: Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:
Рассмотрим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.
По определению равнобедренного треугольника, их боковые стороны равны:
$AB = BC$
$A_1B_1 = B_1C_1$
$\angle B$ — угол при вершине $\triangle ABC$.
$\angle B_1$ — угол при вершине $\triangle A_1B_1C_1$.
По условию, боковые стороны и углы при вершинах этих треугольников равны:
$AB = A_1B_1$
$\angle B = \angle B_1$

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
2. По условию, нам дано равенство одной пары боковых сторон: $AB = A_1B_1$.
3. Также по условию нам дано равенство углов при вершине: $\angle B = \angle B_1$.
4. Поскольку треугольники равнобедренные, их боковые стороны попарно равны: $AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$.
5. Из равенств $AB = A_1B_1$ (условие) и $AB = BC$ (свойство равнобедренного треугольника), следует, что $BC = A_1B_1$. А так как $A_1B_1 = B_1C_1$ (свойство равнобедренного треугольника), то получаем, что $BC = B_1C_1$.
6. Таким образом, для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ мы имеем:
- $AB = A_1B_1$ (по условию)
- $BC = B_1C_1$ (как доказано в п. 5)
- $\angle B = \angle B_1$ (по условию)
Угол $\angle B$ заключен между сторонами $AB$ и $BC$. Угол $\angle B_1$ заключен между сторонами $A_1B_1$ и $B_1C_1$.
7. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

238. В треугольнике $ABC$ биссектриса $BK$ является его высотой. Найдите периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $ABK$ равен 16 см и $BK = 5 \text{ см}$.