Номер 241, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 241, страница 74.

241. На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $K$ так, что точка $M$ лежит между точками $A$ и $K$, причём $AM = CK$. Докажите, что $\triangle MBK$ равнобедренный.

Дано:

$\triangle ABC$ — равнобедренный, $AC$ — основание.
$M, K \in AC$.
Точка $M$ лежит между точками $A$ и $K$.
$AM = CK$.

Доказать:

$\triangle MBK$ — равнобедренный.

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что $\triangle MBK$ является равнобедренным, необходимо доказать равенство его боковых сторон, то есть $BM = BK$. Равенство этих сторон можно доказать через равенство треугольников, в которые они входят.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBK$.

1. По условию, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны. Следовательно, $AB = CB$.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$ (также их можно обозначить как $\angle A$ и $\angle C$). Угол $\angle BAC$ является углом $\angle BAM$, а угол $\angle BCA$ является углом $\angle BCK$. Таким образом, $\angle BAM = \angle BCK$.

3. По условию задачи дано, что $AM = CK$.

Итак, мы установили, что в треугольниках $\triangle ABM$ и $\triangle CBK$:

- $AB = CB$ (как боковые стороны равнобедренного $\triangle ABC$).
- $AM = CK$ (по условию).
- $\angle BAM = \angle BCK$ (как углы при основании равнобедренного $\triangle ABC$).

Следовательно, $\triangle ABM = \triangle CBK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Сторона $BM$ в $\triangle ABM$ соответствует стороне $BK$ в $\triangle CBK$. Значит, $BM = BK$.

Поскольку в треугольнике $MBK$ две стороны ($BM$ и $BK$) равны, то по определению $\triangle MBK$ является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $\triangle MBK$ является равнобедренным, так как из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBK$ (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство сторон $BM = BK$.

241. Точки $M$ и $K$ принадлежат соответственно боковым сторонам $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$, $AM = CK$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\Delta AOC$ – равнобедренный.