Страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

256. В треугольнике $ABC$ медиана $BK$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите $\angle ABC$, если $\angle ABK = 25^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$.

По условию задачи, отрезок $BK$ является медианой, проведенной к стороне $AC$. Это означает, что точка $K$ делит сторону $AC$ пополам, то есть $AK = KC$.

Также по условию, медиана $BK$ перпендикулярна стороне $AC$ ($BK \perp AC$). Это означает, что $BK$ является также и высотой треугольника $ABC$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ является одновременно и медианой, и высотой. Согласно свойству равнобедренного треугольника, если в треугольнике медиана, проведенная к одной из сторон, является также и высотой, то такой треугольник — равнобедренный. В нашем случае это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и, следовательно, стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является биссектрисой угла, из вершины которого она проведена. Следовательно, $BK$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:

$\angle ABK = \angle CBK$

Из условия задачи нам известно, что $\angle ABK = 25^\circ$. Значит, и $\angle CBK = 25^\circ$.

Угол $\angle ABC$ состоит из двух углов $\angle ABK$ и $\angle CBK$. Чтобы найти его величину, нужно сложить величины этих углов:

$\angle ABC = \angle ABK + \angle CBK = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ$

Ответ: $50^\circ$

256. На рисунке 184 $\triangle ABC = \triangle BCD$, причём $AB = CD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle DCA$.

Рис. 184

257. Серединный перпендикуляр стороны AC треугольника ABC проходит через вершину B. Найдите $\angle C$, если $\angle A = 17^\circ$.

Решение:

Пусть дан треугольник $ABC$. По условию, серединный перпендикуляр к стороне $AC$ проходит через вершину $B$.

Серединный перпендикуляр к отрезку – это прямая, все точки которой равноудалены от концов этого отрезка. Поскольку вершина $B$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, расстояние от точки $B$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $B$ до точки $C$.

Таким образом, мы имеем равенство сторон:

$AB = BC$

Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ – равнобедренный с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае это углы $\angle A$ и $\angle C$.

$\angle C = \angle A$

Из условия задачи известно, что $\angle A = 17^{\circ}$. Следовательно,

$\angle C = 17^{\circ}$

Ответ: $17^{\circ}$.

257. На рисунке 184 $AB = CD, AC = BD$. Докажите, что $\triangle BOC$ – равнобедренный.

258. В треугольнике $ABC$ $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle A = \angle B = 45^\circ$, отрезок $CK$ – высота. Найдите сторону $AB$, если $CK = 7$ см.

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle A = \angle B = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным и равнобедренным.

Отрезок $CK$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Высота делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle AKC$ и $\triangle BKC$.

Рассмотрим треугольник $AKC$. В нем:

• $\angle AKC = 90^\circ$, так как $CK$ — высота.
• $\angle A = 45^\circ$, по условию.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол $\angle ACK$:

$\angle ACK = 180^\circ - \angle AKC - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $AKC$ два угла равны ($\angle A = \angle ACK = 45^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, следовательно, $AK = CK$.

По условию задачи $CK = 7$ см. Значит, $AK$ также равен 7 см.

В исходном равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $CK$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Это означает, что точка $K$ делит гипотенузу $AB$ пополам, то есть $AK = KB$.

Таким образом, длина всей гипотенузы $AB$ равна сумме длин ее частей:

$AB = AK + KB = 2 \cdot AK$.

Подставим найденное значение $AK$:

$AB = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

258. Каждая из точек $M$ и $N$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Докажите, что прямая $MN$ – серединный перпендикуляр отрезка $AB$.

259. На рисунке 198 $ \angle AMK = \angle ACB, AK = MK $. Докажите, что $ \triangle ABC $ равнобедренный.

Рис. 198

Рассмотрим треугольник $\triangle AMK$. По условию задачи, стороны этого треугольника $AK$ и $MK$ равны, то есть $AK = MK$.

Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AMK$ — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. В $\triangle AMK$ равными сторонами являются $AK$ и $MK$. Угол, противолежащий стороне $MK$, — это $\angle MAK$. Угол, противолежащий стороне $AK$, — это $\angle AMK$. Таким образом, получаем равенство: $\angle MAK = \angle AMK$.

Также по условию задачи нам дано, что $\angle AMK = \angle ACB$.

Из двух полученных равенств ($\angle MAK = \angle AMK$ и $\angle AMK = \angle ACB$) следует, что $\angle MAK = \angle ACB$.

Угол $\angle MAK$ является тем же углом, что и $\angle CAB$ в треугольнике $\triangle ABC$. Следовательно, в $\triangle ABC$ выполняется равенство $\angle CAB = \angle ACB$.

По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Так как в $\triangle ABC$ углы при вершинах $A$ и $C$ равны, то стороны, лежащие напротив этих углов, также равны. Сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle CAB$, а сторона $AB$ — напротив угла $\angle ACB$. Значит, $BC = AB$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ две стороны равны ($AB = BC$), он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным.

259. На рисунке 185 $AB = KE$, $BC = KM$, $AM = EC$. Докажите, что $\angle AMK = \angle BCE$.

Рис. 185

260. На рисунке 199 $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $\triangle ABC$ равнобедренный.

Рис. 199

Углы $∠1$ и $∠BAC$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол. Сумма смежных углов равна $180°$. Отсюда можно выразить величину угла $∠BAC$: $∠BAC = 180° - ∠1$.

Аналогично, углы $∠2$ и $∠BCA$ также являются смежными. Их сумма тоже равна $180°$. Выразим величину угла $∠BCA$: $∠BCA = 180° - ∠2$.

По условию задачи дано, что $∠1 = ∠2$.

Так как $∠1 = ∠2$, то и разности $180° - ∠1$ и $180° - ∠2$ будут равны. Следовательно, равны и внутренние углы треугольника при основании $AC$: $∠BAC = ∠BCA$.

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, также равны.

В треугольнике $ABC$ стороне $BC$ противолежит угол $∠BAC$, а стороне $AB$ противолежит угол $∠BCA$. Поскольку эти углы равны, то равны и противолежащие им стороны: $AB = BC$.

Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как из условия $∠1 = ∠2$ следует равенство внутренних углов треугольника $∠BAC = ∠BCA$. По признаку равнобедренного треугольника, если углы при основании равны, то треугольник равнобедренный.

260. На рисунке 186 $AB = CD$, $BC = AD$, $BM$ – биссектриса угла $ABC$, $DK$ – биссектриса угла $ADC$. Докажите, что $\triangle ABM = \triangle CDK$.

Рис. 186

261. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла A, пересекает его стороны в точках B и C. Докажите, что $ \triangle ABC $ равнобедренный.

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$. Обозначим его биссектрису как $l$. По условию задачи, прямая, назовем ее $m$, перпендикулярна биссектрисе $l$ и пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Пусть $H$ — точка пересечения прямой $m$ (которая является прямой $BC$) и биссектрисы $l$. Таким образом, мы имеем треугольник $\triangle ABC$, в котором отрезок $AH$ является частью биссектрисы угла $A$, и по условию $AH \perp BC$.

Для того чтобы доказать, что $\triangle ABC$ является равнобедренным, нам необходимо доказать равенство его боковых сторон, то есть $AB = AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle ACH$.

• Сторона $AH$ является общей для обоих треугольников.
• Угол $\angle BAH$ равен углу $\angle CAH$, так как $AH$ лежит на биссектрисе угла $A$ по условию.
• Угол $\angle AHB$ равен углу $\angle AHC$. Так как прямая $BC$ перпендикулярна биссектрисе, на которой лежит отрезок $AH$, то оба этих угла прямые: $\angle AHB = \angle AHC = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABH$ равен треугольнику $\triangle ACH$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). В данном случае, это сторона $AH$ и прилежащие к ней углы $\angle BAH$ ($\angle CAH$) и $\angle AHB$ ($\angle AHC$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, сторона $AB$ треугольника $\triangle ABH$ равна стороне $AC$ треугольника $\triangle ACH$.

$AB = AC$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ две стороны ($AB$ и $AC$) равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. В треугольнике $ABC$ отрезок $AH$ (где $H$ — точка пересечения прямой $BC$ и биссектрисы угла $A$) является одновременно и биссектрисой угла $A$ (по условию), и высотой к стороне $BC$ (по условию). По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, совпадает с высотой, то такой треугольник является равнобедренным.

261. Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $OA = OD$.

Докажите, что $\triangle ABC = \triangle BDC$.

262. Биссектрисы $AM$ и $CK$ углов при основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\Delta AOC$ равнобедренный.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно:

$∠BAC = ∠BCA$

По условию, $AM$ является биссектрисой угла $∠BAC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Точка $O$ является точкой пересечения биссектрис и, следовательно, лежит на $AM$. Поэтому угол $∠OAC$ равен половине угла $∠BAC$:

$∠OAC = \frac{1}{2}∠BAC$

Аналогично, $CK$ является биссектрисой угла $∠BCA$. Точка $O$ также лежит на $CK$. Поэтому угол $∠OCA$ равен половине угла $∠BCA$:

$∠OCA = \frac{1}{2}∠BCA$

Так как мы установили, что $∠BAC = ∠BCA$, то равны и их половины:

$\frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}∠BCA$

Из этого следует, что углы в треугольнике $AOC$ при его стороне $AC$ равны:

$∠OAC = ∠OCA$

Рассмотрим треугольник $AOC$. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Поскольку в треугольнике $AOC$ углы при стороне $AC$ равны, то он является равнобедренным с основанием $AC$. Стороны, противолежащие равным углам, также равны: $AO = OC$.

Таким образом, доказано, что треугольник $AOC$ является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $AOC$ является равнобедренным, так как углы при его основании $AC$ ($∠OAC$ и $∠OCA$) равны. Это равенство следует из того, что данные углы являются половинами равных углов при основании ($∠BAC$ и $∠BCA$) исходного равнобедренного треугольника $ABC$.

262. Отрезки $BD$ и $B_1 D_1$ – биссектрисы треугольников $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ соответственно, $AB = A_1 B_1$, $BD = B_1 D_1$, $AD = A_1 D_1$. Докажите, что $\Delta ABC = \Delta A_1 B_1 C_1$.

263. В треугольнике $ABC$ биссектриса $BK$ является его высотой. Найдите периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $ABK$ равен $16$ см и $BK = 5$ см.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABK $ и $ \triangle CBK $.

По условию, $BK$ — биссектриса угла $ \angle ABC $, следовательно, $ \angle ABK = \angle CBK $.

Также по условию, $BK$ — высота, следовательно, $ BK \perp AC $, а значит $ \angle BKA = \angle BKC = 90^\circ $.

Сторона $BK$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $ \triangle ABK $ равен $ \triangle CBK $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для прямоугольных треугольников это признак равенства по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CB$ и $AK = CK$. Это означает, что треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным.

Периметр треугольника $ \triangle ABK $ вычисляется по формуле $ P_{ABK} = AB + AK + BK $.

По условию задачи, $ P_{ABK} = 16 $ см и $ BK = 5 $ см. Подставим эти значения:

$ 16 = AB + AK + 5 $

Отсюда найдем сумму длин сторон $AB$ и $AK$:

$ AB + AK = 16 - 5 = 11 $ см.

Периметр треугольника $ \triangle ABC $ равен сумме длин его сторон:

$ P_{ABC} = AB + BC + AC $.

Используя полученные ранее равенства, мы можем выразить $P_{ABC}$ через известные нам величины. Заменим $BC$ на $AB$ и $AC$ на $AK + CK$. Так как $AK = CK$, то $ AC = AK + AK = 2AK $.

$ P_{ABC} = AB + AB + (AK + CK) = 2AB + 2AK = 2(AB + AK) $.

Мы уже вычислили, что $ AB + AK = 11 $ см. Подставим это значение в формулу для периметра $ \triangle ABC $:

$ P_{ABC} = 2 \cdot 11 = 22 $ см.

Ответ: 22 см.

263. Коля утверждает, что ему удалось сделать рисунок, на котором $AB = AC$ и $AM = AN$ (рис. 187). Прав ли Коля?

Рис. 185

Рис. 186

Рис. 187

264. В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ является его биссектрисой. Периметр треугольника $ABC$ равен $48$ см, а периметр треугольника $ABM$ – $30$ см. Найдите отрезок $BM$.

По условию, в треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ является медианой и биссектрисой. Согласно свойству равнобедренного треугольника, если медиана, проведенная из вершины, совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный, а стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$).

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

Подставим известные значения и учтем, что $AB = BC$:

$48 = AB + AB + AC = 2 \cdot AB + AC$

Поскольку $BM$ — медиана, она делит сторону $AC$ на два равных отрезка: $AM = MC$. Таким образом, $AC = AM + MC = 2 \cdot AM$.

Заменим $AC$ в формуле периметра:

$48 = 2 \cdot AB + 2 \cdot AM$

Разделим обе части уравнения на 2:

$24 = AB + AM$

Теперь рассмотрим периметр треугольника $ABM$ ($P_{ABM}$):

$P_{ABM} = AB + AM + BM$

Нам известно, что $P_{ABM} = 30$ см, а сумма $AB + AM$ равна 24 см. Подставим эти значения в формулу:

$30 = (AB + AM) + BM$

$30 = 24 + BM$

Отсюда находим длину отрезка $BM$:

$BM = 30 - 24 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

264. Будут ли два треугольника равными, если каждой стороне одного треугольника равна некоторая сторона другого треугольника?

265. Верно ли утверждение:

1) если медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным;

2) если биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пополам, то этот треугольник равнобедренный?

1) если медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным;

Данное утверждение неверно. Для опровержения достаточно привести контрпример.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB$ и $AC$ равны, а основание $BC$ им не равно ($AB=AC$, $AB \neq BC$). Такой треугольник по определению является равнобедренным.

Теперь рассмотрим медиану и высоту, проведённые из вершины $B$ (угла при основании) к боковой стороне $AC$.

• Медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой стороны $AC$.
• Высота $BH$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$.

В равнобедренном треугольнике медиана и высота, проведённые из вершины угла при основании, совпадают только в том случае, если треугольник является равносторонним. В нашем случае, так как треугольник не равносторонний, медиана $BM$ и высота $BH$ не будут совпадать.

Таким образом, мы имеем треугольник $ABC$, который является равнобедренным, но в нём медиана и высота, проведённые из вершины $B$, не совпадают. Это противоречит исходному утверждению.

Ответ: нет, утверждение неверно.

2) если биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пополам, то этот треугольник равнобедренный?

Данное утверждение верно. Докажем это.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$ из вершины $B$ к стороне $AC$.

По условию, биссектриса $BL$ делит противолежащую сторону $AC$ пополам. Это означает, что точка $L$ является серединой отрезка $AC$, то есть $BL$ является медианой. Таким образом, $AL = LC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABL$ и $\triangle CBL$.

1. $AL = LC$ (по условию, так как $BL$ — медиана).
2. $\angle ABL = \angle CBL$ (по определению, так как $BL$ — биссектриса).
3. $BL$ — общая сторона.

Следовательно, треугольник $\triangle ABL$ равен треугольнику $\triangle CBL$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие напротив равных углов: $AB = CB$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Альтернативное доказательство:
По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
$\frac{AB}{BC} = \frac{AL}{LC}$
По условию, биссектриса делит сторону пополам, то есть $AL = LC$. Тогда их отношение $\frac{AL}{LC} = 1$.
Следовательно, $\frac{AB}{BC} = 1$, откуда $AB = BC$. Значит, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ: да, утверждение верно.

265. Докажите равенство двух треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.