Номер 261, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 261, страница 79.

261. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла A, пересекает его стороны в точках B и C. Докажите, что $ \triangle ABC $ равнобедренный.

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$. Обозначим его биссектрису как $l$. По условию задачи, прямая, назовем ее $m$, перпендикулярна биссектрисе $l$ и пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$. Пусть $H$ — точка пересечения прямой $m$ (которая является прямой $BC$) и биссектрисы $l$. Таким образом, мы имеем треугольник $\triangle ABC$, в котором отрезок $AH$ является частью биссектрисы угла $A$, и по условию $AH \perp BC$.

Для того чтобы доказать, что $\triangle ABC$ является равнобедренным, нам необходимо доказать равенство его боковых сторон, то есть $AB = AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle ACH$.

• Сторона $AH$ является общей для обоих треугольников.
• Угол $\angle BAH$ равен углу $\angle CAH$, так как $AH$ лежит на биссектрисе угла $A$ по условию.
• Угол $\angle AHB$ равен углу $\angle AHC$. Так как прямая $BC$ перпендикулярна биссектрисе, на которой лежит отрезок $AH$, то оба этих угла прямые: $\angle AHB = \angle AHC = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABH$ равен треугольнику $\triangle ACH$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). В данном случае, это сторона $AH$ и прилежащие к ней углы $\angle BAH$ ($\angle CAH$) и $\angle AHB$ ($\angle AHC$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, сторона $AB$ треугольника $\triangle ABH$ равна стороне $AC$ треугольника $\triangle ACH$.

$AB = AC$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ две стороны ($AB$ и $AC$) равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. В треугольнике $ABC$ отрезок $AH$ (где $H$ — точка пересечения прямой $BC$ и биссектрисы угла $A$) является одновременно и биссектрисой угла $A$ (по условию), и высотой к стороне $BC$ (по условию). По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, совпадает с высотой, то такой треугольник является равнобедренным.

261. Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $OA = OD$.

Докажите, что $\triangle ABC = \triangle BDC$.