Номер 259, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 259, страница 79.

259. На рисунке 198 $ \angle AMK = \angle ACB, AK = MK $. Докажите, что $ \triangle ABC $ равнобедренный.

Рис. 198

Рассмотрим треугольник $\triangle AMK$. По условию задачи, стороны этого треугольника $AK$ и $MK$ равны, то есть $AK = MK$.

Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AMK$ — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. В $\triangle AMK$ равными сторонами являются $AK$ и $MK$. Угол, противолежащий стороне $MK$, — это $\angle MAK$. Угол, противолежащий стороне $AK$, — это $\angle AMK$. Таким образом, получаем равенство: $\angle MAK = \angle AMK$.

Также по условию задачи нам дано, что $\angle AMK = \angle ACB$.

Из двух полученных равенств ($\angle MAK = \angle AMK$ и $\angle AMK = \angle ACB$) следует, что $\angle MAK = \angle ACB$.

Угол $\angle MAK$ является тем же углом, что и $\angle CAB$ в треугольнике $\triangle ABC$. Следовательно, в $\triangle ABC$ выполняется равенство $\angle CAB = \angle ACB$.

По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Так как в $\triangle ABC$ углы при вершинах $A$ и $C$ равны, то стороны, лежащие напротив этих углов, также равны. Сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle CAB$, а сторона $AB$ — напротив угла $\angle ACB$. Значит, $BC = AB$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ две стороны равны ($AB = BC$), он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным.

259. На рисунке 185 $AB = KE$, $BC = KM$, $AM = EC$. Докажите, что $\angle AMK = \angle BCE$.

Рис. 185