Номер 260, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 260, страница 79.

260. На рисунке 199 $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $\triangle ABC$ равнобедренный.

Рис. 199

Углы $∠1$ и $∠BAC$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол. Сумма смежных углов равна $180°$. Отсюда можно выразить величину угла $∠BAC$: $∠BAC = 180° - ∠1$.

Аналогично, углы $∠2$ и $∠BCA$ также являются смежными. Их сумма тоже равна $180°$. Выразим величину угла $∠BCA$: $∠BCA = 180° - ∠2$.

По условию задачи дано, что $∠1 = ∠2$.

Так как $∠1 = ∠2$, то и разности $180° - ∠1$ и $180° - ∠2$ будут равны. Следовательно, равны и внутренние углы треугольника при основании $AC$: $∠BAC = ∠BCA$.

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, также равны.

В треугольнике $ABC$ стороне $BC$ противолежит угол $∠BAC$, а стороне $AB$ противолежит угол $∠BCA$. Поскольку эти углы равны, то равны и противолежащие им стороны: $AB = BC$.

Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как из условия $∠1 = ∠2$ следует равенство внутренних углов треугольника $∠BAC = ∠BCA$. По признаку равнобедренного треугольника, если углы при основании равны, то треугольник равнобедренный.

260. На рисунке 186 $AB = CD$, $BC = AD$, $BM$ – биссектриса угла $ABC$, $DK$ – биссектриса угла $ADC$. Докажите, что $\triangle ABM = \triangle CDK$.

Рис. 186