Номер 265, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 265, страница 79.

265. Верно ли утверждение:

1) если медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным;

2) если биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пополам, то этот треугольник равнобедренный?

1) если медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным;

Данное утверждение неверно. Для опровержения достаточно привести контрпример.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB$ и $AC$ равны, а основание $BC$ им не равно ($AB=AC$, $AB \neq BC$). Такой треугольник по определению является равнобедренным.

Теперь рассмотрим медиану и высоту, проведённые из вершины $B$ (угла при основании) к боковой стороне $AC$.

• Медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой стороны $AC$.
• Высота $BH$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$.

В равнобедренном треугольнике медиана и высота, проведённые из вершины угла при основании, совпадают только в том случае, если треугольник является равносторонним. В нашем случае, так как треугольник не равносторонний, медиана $BM$ и высота $BH$ не будут совпадать.

Таким образом, мы имеем треугольник $ABC$, который является равнобедренным, но в нём медиана и высота, проведённые из вершины $B$, не совпадают. Это противоречит исходному утверждению.

Ответ: нет, утверждение неверно.

2) если биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пополам, то этот треугольник равнобедренный?

Данное утверждение верно. Докажем это.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$ из вершины $B$ к стороне $AC$.

По условию, биссектриса $BL$ делит противолежащую сторону $AC$ пополам. Это означает, что точка $L$ является серединой отрезка $AC$, то есть $BL$ является медианой. Таким образом, $AL = LC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABL$ и $\triangle CBL$.

1. $AL = LC$ (по условию, так как $BL$ — медиана).
2. $\angle ABL = \angle CBL$ (по определению, так как $BL$ — биссектриса).
3. $BL$ — общая сторона.

Следовательно, треугольник $\triangle ABL$ равен треугольнику $\triangle CBL$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие напротив равных углов: $AB = CB$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Альтернативное доказательство:
По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
$\frac{AB}{BC} = \frac{AL}{LC}$
По условию, биссектриса делит сторону пополам, то есть $AL = LC$. Тогда их отношение $\frac{AL}{LC} = 1$.
Следовательно, $\frac{AB}{BC} = 1$, откуда $AB = BC$. Значит, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ: да, утверждение верно.

265. Докажите равенство двух треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.