Номер 272, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 272, страница 80.

272. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 67,5^\circ$, $\angle B = 22,5^\circ$, CK – биссектриса треугольника ABC, CM – биссектриса треугольника BCK (рис. 200). Докажите, что точка M – середина отрезка AB.

Рис. 200

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи нам даны углы: $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 67,5^\circ$ и $\angle B = 22,5^\circ$.

1. $CK$ является биссектрисой угла $C$. Так как $\angle C = 90^\circ$, то $CK$ делит его на два равных угла:
$\angle ACK = \angle BCK = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

2. $CM$ является биссектрисой угла $BCK$. Следовательно, $CM$ делит этот угол пополам:
$\angle BCM = \angle KCM = \frac{\angle BCK}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22,5^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $BCM$. В этом треугольнике:
$\angle B = 22,5^\circ$ (по условию).
$\angle BCM = 22,5^\circ$ (как мы нашли в пункте 2).
Поскольку два угла в треугольнике $BCM$ равны ($\angle B = \angle BCM$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $BM = CM$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ACM$. Найдем величину угла $\angle ACM$. Он складывается из двух углов:
$\angle ACM = \angle ACK + \angle KCM$.
Подставим известные значения: $\angle ACK = 45^\circ$ и $\angle KCM = 22,5^\circ$.
$\angle ACM = 45^\circ + 22,5^\circ = 67,5^\circ$.

5. В треугольнике $ACM$ нам известны два угла:
$\angle A = 67,5^\circ$ (по условию).
$\angle ACM = 67,5^\circ$ (как мы нашли в пункте 4).
Поскольку два угла в треугольнике $ACM$ равны ($\angle A = \angle ACM$), он также является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AM = CM$.

6. Из результатов, полученных в пунктах 3 и 5, мы имеем два равенства: $BM = CM$ и $AM = CM$.
Отсюда следует, что $AM = BM$.
Это означает, что точка $M$ делит отрезок $AB$ на две равные части, то есть является его серединой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

272. Сформулируйте утверждение, обратное данному:

1) если точка B лежит между точками A и C, то $AB + BC = AC$;

2) если два треугольника не равны, то их периметры также не равны;

3) если градусная мера угла больше 90°, то он тупой.

Для какого из данных утверждений:

1) прямое и обратное утверждения истинны;

2) прямое утверждение истинно, а обратное — ложно;

3) прямое утверждение ложно, а обратное — истинно?