Номер 274, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 274, страница 80.

274. В треугольнике $ABC$ $AB = 3$ см, $AC = 6$ см. На стороне $BC$ отметили точку $M$, такую, что $CM = 1$ см. Прямая, проходящая через точку $M$ перпендикулярно биссектрисе угла $ACB$, пересекает отрезок $AC$ в точке $K$, а прямая, проходящая через точку $K$ перпендикулярно биссектрисе угла $BAC$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите отрезок $BD$.

Рассмотрим первую часть условия. Пусть $l_C$ — биссектриса угла $ACB$. Прямая, проходящая через точку $M$ на стороне $BC$, перпендикулярна биссектрисе $l_C$ и пересекает сторону $AC$ в точке $K$.
Это известное геометрическое свойство: если из точки на одной стороне угла провести перпендикуляр к биссектрисе этого угла до пересечения с другой стороной, то отсекается равнобедренный треугольник.
В нашем случае, в треугольнике $KMC$ биссектриса угла $C$ является также высотой (по условию $MK \perp l_C$). Следовательно, треугольник $KMC$ является равнобедренным с основанием $MK$. Таким образом, боковые стороны равны: $CK = CM$.
По условию $CM = 1$ см, значит, $CK = 1$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $AK$. Точка $K$ лежит на отрезке $AC$.
$AK = AC - CK$
Подставляем известные значения: $AC = 6$ см и $CK = 1$ см.
$AK = 6 - 1 = 5$ см.

Рассмотрим вторую часть условия. Пусть $l_A$ — биссектриса угла $BAC$. Прямая, проходящая через точку $K$ на стороне $AC$, перпендикулярна биссектрисе $l_A$ и пересекает прямую $AB$ в точке $D$.
Применяем то же самое свойство для треугольника $ADK$. В этом треугольнике биссектриса угла $A$ является высотой, опущенной на сторону $DK$ (по условию $KD \perp l_A$). Следовательно, треугольник $ADK$ является равнобедренным с основанием $DK$. Таким образом, боковые стороны равны: $AD = AK$.
Мы уже нашли, что $AK = 5$ см, значит, $AD = 5$ см.

Нам нужно найти длину отрезка $BD$. Точки $A, B, D$ лежат на одной прямой. Нам известно, что $AB = 3$ см и $AD = 5$ см.
Поскольку $AD > AB$, точка $B$ лежит между точками $A$ и $D$.
Длину отрезка $BD$ можно найти как разность длин отрезков $AD$ и $AB$.
$BD = AD - AB = 5 - 3 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

274. Сформулируйте утверждение, отрицающее данное:

1) угол $\angle ABC$ не является прямым;

2) треугольник $\triangle MKE$ – равнобедренный;

3) через точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной;

4) луч $AC$ делит угол $\angle BAK$ пополам.