Номер 278, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 278, страница 83.

278. На рисунке 208 $AB = CD$, $BC = AD$. Докажите, что $\angle B = \angle D$.

Рис. 208

Для доказательства равенства углов $\angle B$ и $\angle D$ рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$, которые образуются при проведении диагонали $AC$ в четырехугольнике $ABCD$.

Сравним эти два треугольника:

1. 1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $CD$ треугольника $\triangle CDA$ по условию ($AB = CD$).
2. 2. Сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $AD$ треугольника $\triangle CDA$ по условию ($BC = AD$).
3. 3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Поскольку три стороны одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны трем сторонам другого треугольника ($\triangle CDA$), то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Записываем это как $\triangle ABC = \triangle CDA$.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. В нашем случае угол $\angle B$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AC$. Угол $\angle D$ в треугольнике $\triangle CDA$ лежит напротив этой же стороны $AC$. Следовательно, углы $\angle B$ и $\angle D$ являются соответственными углами в равных треугольниках.

Из этого следует, что $\angle B = \angle D$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $\angle B$ и $\angle D$ доказано. Доказательство основывается на равенстве треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ по третьему признаку (по трем сторонам: $AB=CD$, $BC=AD$, $AC$ - общая). Углы $\angle B$ и $\angle D$ являются соответственными в этих равных треугольниках, а значит, они равны.

278. Докажите методом от противного, что из двух смежных углов хотя бы один не меньше $90^\circ$.