Номер 283, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 283, страница 83.

283. На рисунке 210 $AB = CD$, $AC = BD$. Докажите, что треугольник $BOC$ равнобедренный.

Рис. 210

Для доказательства того, что треугольник $BOC$ является равнобедренным, рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$.

В этих треугольниках:
1. $AB = CD$ (по условию задачи).
2. $AC = BD$ (по условию задачи).
3. $BC$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle DCB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle ACB$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AB$, а угол $\angle DBC$ в треугольнике $\triangle DCB$ лежит напротив равной ей стороны $CD$. Таким образом, $\angle ACB = \angle DBC$.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Углы $\angle OCB$ и $\angle OBC$ являются его углами при основании $BC$. Так как $\angle OCB$ это тот же угол, что и $\angle ACB$, а $\angle OBC$ — тот же угол, что и $\angle DBC$, то из доказанного выше следует, что $\angle OCB = \angle OBC$.

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Поскольку в треугольнике $BOC$ углы при основании $BC$ равны, то треугольник $BOC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

283. Угол между биссектрисой одного из смежных углов и их общей стороной составляет $\frac{1}{3}$ второго угла. Найдите градусные меры этих смежных углов.