Номер 284, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 284, страница 83.

284. Каждая из точек $M$ и $N$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Докажите, что прямая $MN$ – серединный перпендикуляр отрезка $AB$.

Дано:

Отрезок $AB$.
Точка $M$, для которой выполняется равенство $MA = MB$.
Точка $N$, для которой выполняется равенство $NA = NB$.

Доказать:

Прямая $MN$ является серединным перпендикуляром отрезка $AB$.

Доказательство:

Чтобы доказать, что прямая $MN$ является серединным перпендикуляром отрезка $AB$, нужно доказать два факта:
1. Прямая $MN$ проходит через середину отрезка $AB$.
2. Прямая $MN$ перпендикулярна отрезку $AB$.

Рассмотрим $\triangle AMN$ и $\triangle BMN$.
- $AM = BM$ по условию.
- $AN = BN$ по условию.
- $MN$ — общая сторона.
Следовательно, $\triangle AMN = \triangle BMN$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle AMN = \angle BMN$.

Пусть прямая $MN$ пересекает отрезок $AB$ в точке $O$. Рассмотрим $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$.
- $AM = BM$ по условию.
- $MO$ — общая сторона.
- $\angle AMO = \angle BMO$, так как это те же углы, что и доказанные выше равные углы $\angle AMN$ и $\angle BMN$.
Следовательно, $\triangle AMO = \triangle BMO$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$ следует, что:
1. $AO = BO$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AB$.
2. $\angle AOM = \angle BOM$. Так как эти углы являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Поскольку углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что прямая $MN$ перпендикулярна прямой $AB$ ($MN \perp AB$).

Таким образом, прямая $MN$ проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. Следовательно, по определению, прямая $MN$ является серединным перпендикуляром отрезка $AB$. Что и требовалось доказать.

Примечание: Это доказательство охватывает общий случай. Если одна из точек, например $M$, лежит на отрезке $AB$, то из $MA=MB$ следует, что $M$ — середина $AB$. Тогда в равнобедренном треугольнике $\triangle ANB$ ($NA=NB$) отрезок $NM$ является медианой, а значит, и высотой. То есть $MN \perp AB$, и прямая $MN$ снова является серединным перпендикуляром.

Ответ:

Утверждение доказано: прямая $MN$ является серединным перпендикуляром отрезка $AB$.

284. Длины сторон прямоугольника равны 4 и 3 см. Найдите сумму длин всех отрезков, расположенных внутри прямоугольника (рис. 189).

Рис. 189