Номер 288, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 288, страница 84.

288. Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $OA = OD$.

Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DCB$.

Доказательство

По условию задачи дано, что отрезки $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$) и пересекаются в точке $O$. Также известно, что части этих отрезков равны: $OA = OD$. Требуется доказать, что треугольник $ABC$ равен треугольнику $DCB$.

1. Поскольку точка $O$ лежит на отрезках $AB$ и $CD$, длины этих отрезков можно представить в виде суммы длин их частей: $AB = OA + OB$ и $CD = OC + OD$.

2. Из условия $AB = CD$ следует, что $OA + OB = OC + OD$.

3. Используя второе условие, $OA = OD$, подставим его в предыдущее равенство: $OD + OB = OC + OD$. Вычитая из обеих частей равенства отрезок $OD$, получаем $OB = OC$.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle OBC$. Так как его стороны $OB$ и $OC$ равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $\angle OBC = \angle OCB$.

5. Углы $\angle OBC$ и $\angle OCB$ являются также углами треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$ соответственно. То есть, $\angle ABC = \angle OBC$ и $\angle DCB = \angle OCB$. Следовательно, $\angle ABC = \angle DCB$.

6. Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$ по элементам:

• $AB = DC$ (по условию задачи).
• $\angle ABC = \angle DCB$ (доказано в пункте 5).
• $BC$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $\triangle DCB$.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle DCB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\triangle ABC = \triangle DCB$ доказано.

288. Можно ли провести прямую, которая была бы параллельна каждой из пересекающихся прямых $a$ и $b$?