Номер 287, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 287, страница 84.

287. На рисунке 212 $AB = CD$, $BC = AD$, $BM$ - биссектриса угла $ABC$, $DK$ - биссектриса угла $ADC$. Докажите, что $\triangle ABM = \triangle CDK$.

Рис. 212

Докажите, что $ \triangle ABM = \triangle CDK $

1. Сначала определим вид четырехугольника $ABCD$. По условию задачи, его противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = AD$. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

2. Воспользуемся свойствами параллелограмма. В параллелограмме противолежащие углы равны. Таким образом, $ \angle ABC = \angle ADC $ и $ \angle BAD = \angle BCD $.

3. По условию, $BM$ — биссектриса угла $ABC$, а $DK$ — биссектриса угла $ADC$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Отсюда следует:
$ \angle ABM = \frac{1}{2} \angle ABC $
$ \angle CDK = \frac{1}{2} \angle ADC $
Так как $ \angle ABC = \angle ADC $, то и половины этих углов равны между собой: $ \angle ABM = \angle CDK $.

4. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle CDK $ и докажем их равенство по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам):
- $AB = CD$ по условию задачи.
- $ \angle BAM = \angle DCK $, так как это противолежащие углы $ \angle BAD $ и $ \angle BCD $ параллелограмма $ABCD$.
- $ \angle ABM = \angle CDK $, как было доказано в предыдущем пункте.

Так как сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AB$, $ \angle BAM $, $ \angle ABM $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($CD$, $ \angle DCK $, $ \angle CDK $), то треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle CDK $ равны.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle ABM $ и $ \triangle CDK $ доказано.

287. Перерисуйте в тетрадь рисунок 200. Проведите через точку $B$ прямую $m$, параллельную прямой $AC$, а через точку $D$ — прямую $n$, параллельную прямой $AC$. Каково взаимное расположение прямых $m$ и $n$?

Рис. 200