Номер 286, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 286, страница 84.

286. На рисунке 211 $AB = KE$, $BC = KM$, $AM = EC$. Докажите, что $\angle AMK = \angle BCE$.

Рис. 211

Для доказательства равенства углов $∠AMK$ и $∠BCE$ рассмотрим треугольники $△ABC$ и $△EKM$.

По условию задачи нам даны следующие равенства отрезков: $AB = KE$, $BC = KM$ и $AM = EC$.

Сравним стороны $AC$ и $EM$ этих треугольников. Из рисунка следует, что точки $A, M, C, E$ лежат на одной прямой. Длину отрезка $AC$ можно представить как сумму длин отрезков $AM$ и $MC$: $AC = AM + MC$. Аналогично, длина отрезка $EM$ равна сумме длин отрезков $EC$ и $MC$: $EM = EC + MC$.

Поскольку по условию $AM = EC$, мы можем заключить, что $AC = AM + MC = EC + MC = EM$. Таким образом, третья сторона треугольника $△ABC$ равна третьей стороне треугольника $△EKM$.

Итак, мы установили, что в треугольниках $△ABC$ и $△EKM$ три стороны соответственно равны:
1. $AB = EK$ (по условию)
2. $BC = KM$ (по условию)
3. $AC = EM$ (доказано выше)
Следовательно, $△ABC ≅ △EKM$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

В равных треугольниках соответственные углы равны. Угол $∠BCA$ в треугольнике $△ABC$ лежит напротив стороны $AB$. Угол $∠KME$ в треугольнике $△EKM$ лежит напротив стороны $EK$. Так как $AB = EK$, то и противолежащие им углы равны: $∠BCA = ∠KME$.

Так как точки $A, M, C, E$ лежат на одной прямой, угол $∠BCA$ является тем же углом, что и $∠BCE$. Аналогично, угол $∠KME$ является тем же углом, что и $∠AMK$.
Из этого следует, что $∠AMK = ∠BCE$.

Ответ: Равенство $∠AMK = ∠BCE$ доказано.

286. Начертите треугольник и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную противолежащей стороне.