Номер 280, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 280, страница 83.

280. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и основание одного треугольника соответственно равны боковой стороне и основанию другого треугольника.

Пусть даны два равнобедренных треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

В $ \triangle ABC $ стороны $AB$ и $BC$ — боковые, а $AC$ — основание. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны, следовательно, $AB = BC$.

Аналогично, в $ \triangle A_1B_1C_1 $ стороны $A_1B_1$ и $B_1C_1$ — боковые, а $A_1C_1$ — основание. Следовательно, $A_1B_1 = B_1C_1$.

Согласно условию задачи, боковая сторона и основание одного треугольника соответственно равны боковой стороне и основанию другого. Запишем это в виде равенств:
1) $AB = A_1B_1$ (равенство боковых сторон)
2) $AC = A_1C_1$ (равенство оснований)

Теперь сравним все три стороны треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $:
- Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ (по условию).
- Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ (по условию).
- Рассмотрим стороны $BC$ и $B_1C_1$. Мы знаем, что $BC = AB$ (из свойства $ \triangle ABC $) и $B_1C_1 = A_1B_1$ (из свойства $ \triangle A_1B_1C_1 $). Так как по условию $AB = A_1B_1$, то мы можем заключить, что $BC = B_1C_1$.

Таким образом, мы показали, что три стороны треугольника $ \triangle ABC $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $:
$AB = A_1B_1$
$BC = B_1C_1$
$AC = A_1C_1$

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Два равнобедренных треугольника равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как равенство их боковых сторон и оснований влечет за собой равенство всех трех сторон.

280. Сформулируйте и докажите признак равенства треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углу между медианой и этой стороной.