Номер 285, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 285, страница 83.

285. Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) отметили точку $D$ так, что $AD = CD$. Докажите, что прямые $BD$ и $AC$ перпендикулярны.

Доказательство:

Для доказательства утверждения рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сравним эти два треугольника по их сторонам:

1. Сторона $AB$ равна стороне $BC$ ($AB = BC$), так как по условию треугольник $ABC$ является равнобедренным.

2. Сторона $AD$ равна стороне $CD$ ($AD = CD$) по условию задачи.

3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $ABD$ равен треугольнику $CBD$ ($\triangle ABD = \triangle CBD$) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Следовательно, угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CBD$. Это означает, что луч $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ биссектриса, проведенная из вершины $B$ к основанию, по свойству равнобедренного треугольника является одновременно его медианой и высотой.

Поскольку прямая, содержащая отрезок $BD$, является биссектрисой угла $\angle ABC$, то она также содержит и высоту треугольника $ABC$, проведенную к основанию $AC$. По определению, высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой она проведена.

Следовательно, прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Перпендикулярность прямых $BD$ и $AC$ доказана. Доказательство основано на равенстве треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ (по трем сторонам). Из их равенства следует, что $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также высотой, поэтому $BD \perp AC$.

285. Перерисуйте в тетрадь рисунок 199. Проведите через каждую из точек $A$ и $B$ прямую, параллельную прямой $m$.

Рис. 199

a б в