Номер 290, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 290, страница 84.

290. Отрезки $AM$ и $A_1M_1$ – медианы треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно, $AB = A_1B_1$, $BM = B_1M_1$, $AM = A_1M_1$. Докажите, что $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $. Согласно условию задачи, у этих треугольников:
1) сторона $ AB $ равна стороне $ A_1B_1 $;
2) сторона $ BM $ равна стороне $ B_1M_1 $;
3) сторона $ AM $ равна стороне $ A_1M_1 $.
Следовательно, $ \triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1 $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Так как треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $ равны, то равны и их соответствующие углы. В частности, $ \angle ABM = \angle A_1B_1M_1 $, что означает $ \angle B = \angle B_1 $.

По определению, медиана $ AM $ в треугольнике $ \triangle ABC $ делит сторону $ BC $ пополам, то есть $ BC = 2 \cdot BM $. Аналогично, медиана $ A_1M_1 $ в треугольнике $ \triangle A_1B_1C_1 $ делит сторону $ B_1C_1 $ пополам, то есть $ B_1C_1 = 2 \cdot B_1M_1 $.
Из условия известно, что $ BM = B_1M_1 $. Умножив обе части этого равенства на 2, получим $ 2 \cdot BM = 2 \cdot B_1M_1 $, откуда следует, что $ BC = B_1C_1 $.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Сравним их элементы:
1. $ AB = A_1B_1 $ (по условию).
2. $ BC = B_1C_1 $ (доказано выше).
3. $ \angle B = \angle B_1 $ (доказано выше), и этот угол находится между сторонами $ AB $, $ BC $ и $ A_1B_1 $, $ B_1C_1 $ соответственно.
Таким образом, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

290. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Можно ли провести такую прямую $c$, которая была бы параллельна прямой $a$ и пересекала прямую $b$?