Номер 291, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 291, страница 84.

291. Коля утверждает, что ему удалось сделать рисунок, на котором $AB = AC$ и $AM = AN$ (рис. 213). Прав ли Коля?

Рис. 213

Коля не прав. Сделать рисунок, удовлетворяющий всем указанным условиям, невозможно. Вот развернутое доказательство этого утверждения.

Доказательство будем проводить методом от противного, предположив, что такой рисунок существует, и придя к противоречию.

1. По условию $AB = AC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Обозначим величину этих углов через $\beta$. Сумма двух этих углов в треугольнике $ABC$ должна быть меньше $180^\circ$, то есть $2\beta < 180^\circ$, откуда следует, что $\beta < 90^\circ$.

2. Точки B, M, C, N лежат на одной прямой, причем в порядке, указанном на рисунке. Угол $\angle ACN$ является смежным с углом $\angle ACB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle ACN = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - \beta$. Поскольку мы установили, что $\beta < 90^\circ$, то угол $\angle ACN$ будет тупым, то есть $\angle ACN > 90^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $ACN$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как угол $\angle ACN$ тупой, он является наибольшим углом в треугольнике $ACN$. Сторона $AN$ лежит напротив этого угла, следовательно, $AN$ — это самая длинная сторона в треугольнике $ACN$. Отсюда следует неравенство $AN > AC$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABM$. Угол $\angle AMB$ является внешним для треугольника $AMC$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AMB = \angle MAC + \angle MCA$. Так как $\angle MCA$ — это угол $\angle ACB = \beta$, а $\angle MAC$ — это угол треугольника, то есть его величина положительна ($\angle MAC > 0^\circ$), мы можем заключить, что $\angle AMB > \beta$. В треугольнике $ABM$ угол $\angle ABM$ также равен $\beta$. Таким образом, мы получили, что в треугольнике $ABM$ угол $\angle AMB$ больше угла $\angle ABM$.

5. В треугольнике $ABM$ напротив большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle AMB > \angle ABM$, то сторона $AB$, лежащая напротив угла $\angle AMB$, больше стороны $AM$, лежащей напротив угла $\angle ABM$. То есть, $AB > AM$.

6. Объединим полученные результаты. Из пункта 3 мы имеем $AN > AC$. Из пункта 5 мы имеем $AB > AM$. По условию задачи $AB = AC$. Мы можем составить следующую цепочку неравенств: $AN > AC = AB > AM$. Из этой цепочки напрямую следует, что $AN > AM$.

Полученное неравенство $AN > AM$ противоречит утверждению Коли, что ему удалось сделать рисунок, на котором $AM = AN$. Следовательно, исходное предположение о том, что такой рисунок возможен, было неверным.

Ответ: Коля не прав.

291. Являются ли два отрезка параллельными, если они не имеют общих точек?