Номер 289, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 289, страница 84.

289. Отрезки $BD$ и $B_1D_1$ – биссектрисы треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно, $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$. Докажите, что $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. По условию задачи стороны этих треугольников соответственно равны: $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$ и $AD = A_1D_1$. Таким образом, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Поскольку отрезки $BD$ и $B_1D_1$ являются биссектрисами углов $\angle ABC$ и $\angle A_1B_1C_1$ соответственно, то $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABD$ и $\angle A_1B_1C_1 = 2 \cdot \angle A_1B_1D_1$. Так как из предыдущего пункта $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$, то и полные углы равны: $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ (по условию), а прилежащие к ней углы соответственно равны: $\angle A = \angle A_1$ и $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано.

289. Прямая $a$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$. Может ли прямая $a$ быть параллельной стороне $AC$? Стороне $BC$?