Номер 293, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 293, страница 84.

293. Докажите равенство двух треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Пусть даны два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых равны две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне.

Дано:

• $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
• $AB = A_1B_1$
• $AC = A_1C_1$
• $AM$ — медиана к стороне $BC$
• $A_1M_1$ — медиана к стороне $B_1C_1$
• $AM = A_1M_1$

Доказать:

$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение. На луче $AM$ отложим отрезок $MD$, равный $AM$, так что $AD = 2AM$. Соединим точку $D$ с точкой $B$. Аналогично, на луче $A_1M_1$ отложим отрезок $M_1D_1$, равный $A_1M_1$, так что $A_1D_1 = 2A_1M_1$. Соединим точку $D_1$ с точкой $B_1$.

2. Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению, $AM = MD$. Поскольку $AM$ — медиана, то $BM = MC$. Так как диагонали четырехугольника $ABDC$ точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, следовательно, $BD = AC$.

3. Аналогично доказывается, что четырехугольник $A_1B_1D_1C_1$ является параллелограммом, и, следовательно, $B_1D_1 = A_1C_1$.

4. Теперь сравним треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$.

• $AB = A_1B_1$ по условию.
• $BD = AC$ (из свойства параллелограмма $ABDC$) и $B_1D_1 = A_1C_1$ (из свойства параллелограмма $A_1B_1D_1C_1$). Так как по условию $AC = A_1C_1$, то $BD = B_1D_1$.
• $AD = 2AM$ и $A_1D_1 = 2A_1M_1$ по построению. Так как по условию $AM = A_1M_1$, то $AD = A_1D_1$.

Таким образом, $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$ по трем сторонам (III признак равенства треугольников).

5. Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$ (так как $M$ лежит на $AD$ и $M_1$ на $A_1D_1$, то $\angle BAM$ совпадает с $\angle BAD$, а $\angle B_1A_1M_1$ — с $\angle B_1A_1D_1$).

6. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$.

• $AB = A_1B_1$ по условию.
• $AM = A_1M_1$ по условию.
• $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$ как доказано выше.

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$ по двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников).

7. Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих сторон: $BM = B_1M_1$.

8. Так как $M$ и $M_1$ — середины сторон $BC$ и $B_1C_1$, то $BC = 2BM$ и $B_1C_1 = 2B_1M_1$. Из $BM = B_1M_1$ следует, что $BC = B_1C_1$.

9. Теперь мы можем доказать равенство исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

• $AB = A_1B_1$ по условию.
• $AC = A_1C_1$ по условию.
• $BC = B_1C_1$ как доказано выше.

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по трем сторонам (III признак равенства треугольников). Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство двух треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне, доказано.

293. Сколько можно провести отрезков, параллельных данной прямой, через точку, не принадлежащую этой прямой?