Страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте третий признак равенства треугольников.

1. Третий признак равенства треугольников, который также называют признаком "по трем сторонам" (или ССС), гласит: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Для того чтобы доказать равенство двух треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по этому признаку, необходимо проверить выполнение трех условий:

1. Первая сторона первого треугольника равна первой стороне второго треугольника: $AB = A_1B_1$.
2. Вторая сторона первого треугольника равна второй стороне второго треугольника: $BC = B_1C_1$.
3. Третья сторона первого треугольника равна третьей стороне второго треугольника: $AC = A_1C_1$.

Если все три равенства верны, то можно сделать вывод о равенстве треугольников: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Из этого следует, что равны не только их стороны, но и все соответственные углы: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Ответ: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1. Сформулируйте третий признак равенства треугольников.

2. Где находятся точки, равноудалённые от концов отрезка?

Множество всех точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, представляет собой прямую, которая перпендикулярна данному отрезку и проходит через его середину. Такая прямая носит название серединный перпендикуляр к отрезку.

Чтобы доказать это, необходимо рассмотреть и доказать две взаимно обратные теоремы.

Пусть нам дан отрезок $AB$.

Прямая теорема: любая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.

Возьмём произвольную точку $M$, для которой выполняется условие равенства расстояний до концов отрезка $A$ и $B$, то есть $MA = MB$.

Соединим точку $M$ с точками $A$ и $B$. Мы получим треугольник $\triangle AMB$. Поскольку по условию $MA = MB$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Пусть точка $O$ — это середина отрезка $AB$. Тогда отрезок $MO$ является медианой треугольника $\triangle AMB$, проведённой к основанию.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Это означает, что отрезок $MO$ перпендикулярен основанию $AB$, то есть $MO \perp AB$.

Таким образом, точка $M$ лежит на прямой, проходящей через середину отрезка $AB$ и перпендикулярной ему. По определению, эта прямая и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Обратная теорема: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов.

Возьмём произвольную точку $M$, которая лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Пусть $O$ — середина отрезка $AB$.

По определению серединного перпендикуляра, прямая $MO$ проходит через середину $O$ отрезка $AB$ (значит, $AO = OB$) и перпендикулярна ему (значит, $\angle MOA = \angle MOB = 90^\circ$).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle MOA$ и $\triangle MOB$. В этих треугольниках катет $AO$ равен катету $BO$, а катет $MO$ является общим.

Следовательно, треугольники $\triangle MOA$ и $\triangle MOB$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в данном случае — гипотенуз: $MA = MB$.

Это доказывает, что любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.

Совокупность этих двух доказанных теорем и определяет, что искомое геометрическое место точек — это серединный перпендикуляр.

Ответ: Точки, равноудалённые от концов отрезка, находятся на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

2. Где находятся точки, равноудалённые от концов отрезка?

278. На рисунке 208 $AB = CD$, $BC = AD$. Докажите, что $\angle B = \angle D$.

Рис. 208

Для доказательства равенства углов $\angle B$ и $\angle D$ рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$, которые образуются при проведении диагонали $AC$ в четырехугольнике $ABCD$.

Сравним эти два треугольника:

1. 1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $CD$ треугольника $\triangle CDA$ по условию ($AB = CD$).
2. 2. Сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $AD$ треугольника $\triangle CDA$ по условию ($BC = AD$).
3. 3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Поскольку три стороны одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны трем сторонам другого треугольника ($\triangle CDA$), то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Записываем это как $\triangle ABC = \triangle CDA$.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. В нашем случае угол $\angle B$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AC$. Угол $\angle D$ в треугольнике $\triangle CDA$ лежит напротив этой же стороны $AC$. Следовательно, углы $\angle B$ и $\angle D$ являются соответственными углами в равных треугольниках.

Из этого следует, что $\angle B = \angle D$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $\angle B$ и $\angle D$ доказано. Доказательство основывается на равенстве треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ по третьему признаку (по трем сторонам: $AB=CD$, $BC=AD$, $AC$ - общая). Углы $\angle B$ и $\angle D$ являются соответственными в этих равных треугольниках, а значит, они равны.

278. Докажите методом от противного, что из двух смежных углов хотя бы один не меньше $90^\circ$.

279. На рисунке 209 $AC = AD$, $BC = BD$. Найдите угол $BAC$, если $\angle BAD = 25^\circ$.

Рис. 209

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$.

В этих треугольниках:

• $AC = AD$ по условию задачи;
• $BC = BD$ по условию задачи;
• Сторона $AB$ является общей.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC \cong \triangle ABD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в том числе и углов. Угол $\angle BAC$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $BC$. Угол $\angle BAD$ в треугольнике $\triangle ABD$ лежит напротив стороны $BD$.

Так как $BC = BD$, то и противолежащие им углы равны:

$\angle BAC = \angle BAD$

По условию задачи нам известно, что $\angle BAD = 25^\circ$.

Соответственно, $\angle BAC$ также равен $25^\circ$.

Ответ: $25^\circ$.

279. Сформулируйте и докажите признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне.

280. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и основание одного треугольника соответственно равны боковой стороне и основанию другого треугольника.

Пусть даны два равнобедренных треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

В $ \triangle ABC $ стороны $AB$ и $BC$ — боковые, а $AC$ — основание. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны, следовательно, $AB = BC$.

Аналогично, в $ \triangle A_1B_1C_1 $ стороны $A_1B_1$ и $B_1C_1$ — боковые, а $A_1C_1$ — основание. Следовательно, $A_1B_1 = B_1C_1$.

Согласно условию задачи, боковая сторона и основание одного треугольника соответственно равны боковой стороне и основанию другого. Запишем это в виде равенств:
1) $AB = A_1B_1$ (равенство боковых сторон)
2) $AC = A_1C_1$ (равенство оснований)

Теперь сравним все три стороны треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $:
- Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ (по условию).
- Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ (по условию).
- Рассмотрим стороны $BC$ и $B_1C_1$. Мы знаем, что $BC = AB$ (из свойства $ \triangle ABC $) и $B_1C_1 = A_1B_1$ (из свойства $ \triangle A_1B_1C_1 $). Так как по условию $AB = A_1B_1$, то мы можем заключить, что $BC = B_1C_1$.

Таким образом, мы показали, что три стороны треугольника $ \triangle ABC $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $:
$AB = A_1B_1$
$BC = B_1C_1$
$AC = A_1C_1$

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Два равнобедренных треугольника равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как равенство их боковых сторон и оснований влечет за собой равенство всех трех сторон.

280. Сформулируйте и докажите признак равенства треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углу между медианой и этой стороной.

281. Докажите, что два равносторонних треугольника равны, если сторона на одного треугольника равна стороне другого треугольника.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два равносторонних треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

По определению равностороннего треугольника, все его стороны равны. Таким образом, для треугольника $ \triangle ABC $ справедливо равенство $ AB = BC = AC $, а для треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $ справедливо равенство $ A_1B_1 = B_1C_1 = A_1C_1 $.

По условию задачи, сторона одного треугольника равна стороне другого. Пусть сторона $ AB $ треугольника $ \triangle ABC $ равна стороне $ A_1B_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $. То есть, $ AB = A_1B_1 $.

Так как в равностороннем треугольнике все стороны равны, мы можем записать следующие соотношения:

$ BC = AB $ и $ AC = AB $.

$ B_1C_1 = A_1B_1 $ и $ A_1C_1 = A_1B_1 $.

Поскольку по условию $ AB = A_1B_1 $, мы можем сделать вывод о равенстве и других соответствующих сторон:

$ BC = AB = A_1B_1 = B_1C_1 \implies BC = B_1C_1 $.

$ AC = AB = A_1B_1 = A_1C_1 \implies AC = A_1C_1 $.

Таким образом, мы имеем три пары соответственно равных сторон: $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $ и $ AC = A_1C_1 $.

Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Два равносторонних треугольника с равными сторонами равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

281. Докажите признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника.

282. На рисунке 210 $ \triangle ABC = \triangle DCB $, причём $ AB = CD $. Докажите, что $ \triangle ABD = \triangle DCA $.

Рис. 210

Для доказательства того, что $ΔABD = ΔDCA$, мы воспользуемся признаком равенства треугольников по трем сторонам (SSS). Для этого нам нужно показать, что три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого.

Рассмотрим треугольники $ΔABD$ и $ΔDCA$.

1. Стороны $AB$ и $DC$.

По условию задачи дано, что $ΔABC = ΔDCB$. В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Сторона $AB$ в $ΔABC$ соответствует стороне $DC$ в $ΔDCB$. Следовательно, $AB = DC$.

2. Стороны $BD$ и $AC$.

Аналогично, из равенства $ΔABC = ΔDCB$ следует, что сторона $AC$ в $ΔABC$ соответствует стороне $DB$ в $ΔDCB$. Следовательно, $AC = DB$ (или $BD = AC$).

3. Сторона $AD$.

Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников, $ΔABD$ и $ΔDCA$.

Таким образом, мы имеем три пары равных сторон:

• $AB = DC$
• $BD = AC$
• $AD$ — общая сторона

Поскольку все три стороны треугольника $ΔABD$ соответственно равны трем сторонам треугольника $ΔDCA$, эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: Доказано, что $ΔABD = ΔDCA$.

282. Отметьте на прямой точки $A$, $B$ и $C$. Поставьте вместо многоточия один из знаков «<», «>», «=», чтобы образовалась правильная запись:

1) $AB + BC \dots AC;$

2) $AB + AC \dots BC;$

3) $AC + BC \dots AB.$

283. На рисунке 210 $AB = CD$, $AC = BD$. Докажите, что треугольник $BOC$ равнобедренный.

Рис. 210

Для доказательства того, что треугольник $BOC$ является равнобедренным, рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$.

В этих треугольниках:
1. $AB = CD$ (по условию задачи).
2. $AC = BD$ (по условию задачи).
3. $BC$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle DCB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle ACB$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AB$, а угол $\angle DBC$ в треугольнике $\triangle DCB$ лежит напротив равной ей стороны $CD$. Таким образом, $\angle ACB = \angle DBC$.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Углы $\angle OCB$ и $\angle OBC$ являются его углами при основании $BC$. Так как $\angle OCB$ это тот же угол, что и $\angle ACB$, а $\angle OBC$ — тот же угол, что и $\angle DBC$, то из доказанного выше следует, что $\angle OCB = \angle OBC$.

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Поскольку в треугольнике $BOC$ углы при основании $BC$ равны, то треугольник $BOC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

283. Угол между биссектрисой одного из смежных углов и их общей стороной составляет $\frac{1}{3}$ второго угла. Найдите градусные меры этих смежных углов.

284. Каждая из точек $M$ и $N$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Докажите, что прямая $MN$ – серединный перпендикуляр отрезка $AB$.

Дано:

Отрезок $AB$.
Точка $M$, для которой выполняется равенство $MA = MB$.
Точка $N$, для которой выполняется равенство $NA = NB$.

Доказать:

Прямая $MN$ является серединным перпендикуляром отрезка $AB$.

Доказательство:

Чтобы доказать, что прямая $MN$ является серединным перпендикуляром отрезка $AB$, нужно доказать два факта:
1. Прямая $MN$ проходит через середину отрезка $AB$.
2. Прямая $MN$ перпендикулярна отрезку $AB$.

Рассмотрим $\triangle AMN$ и $\triangle BMN$.
- $AM = BM$ по условию.
- $AN = BN$ по условию.
- $MN$ — общая сторона.
Следовательно, $\triangle AMN = \triangle BMN$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle AMN = \angle BMN$.

Пусть прямая $MN$ пересекает отрезок $AB$ в точке $O$. Рассмотрим $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$.
- $AM = BM$ по условию.
- $MO$ — общая сторона.
- $\angle AMO = \angle BMO$, так как это те же углы, что и доказанные выше равные углы $\angle AMN$ и $\angle BMN$.
Следовательно, $\triangle AMO = \triangle BMO$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$ следует, что:
1. $AO = BO$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AB$.
2. $\angle AOM = \angle BOM$. Так как эти углы являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Поскольку углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что прямая $MN$ перпендикулярна прямой $AB$ ($MN \perp AB$).

Таким образом, прямая $MN$ проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. Следовательно, по определению, прямая $MN$ является серединным перпендикуляром отрезка $AB$. Что и требовалось доказать.

Примечание: Это доказательство охватывает общий случай. Если одна из точек, например $M$, лежит на отрезке $AB$, то из $MA=MB$ следует, что $M$ — середина $AB$. Тогда в равнобедренном треугольнике $\triangle ANB$ ($NA=NB$) отрезок $NM$ является медианой, а значит, и высотой. То есть $MN \perp AB$, и прямая $MN$ снова является серединным перпендикуляром.

Ответ:

Утверждение доказано: прямая $MN$ является серединным перпендикуляром отрезка $AB$.

284. Длины сторон прямоугольника равны 4 и 3 см. Найдите сумму длин всех отрезков, расположенных внутри прямоугольника (рис. 189).

Рис. 189

285. Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) отметили точку $D$ так, что $AD = CD$. Докажите, что прямые $BD$ и $AC$ перпендикулярны.

Доказательство:

Для доказательства утверждения рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сравним эти два треугольника по их сторонам:

1. Сторона $AB$ равна стороне $BC$ ($AB = BC$), так как по условию треугольник $ABC$ является равнобедренным.

2. Сторона $AD$ равна стороне $CD$ ($AD = CD$) по условию задачи.

3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $ABD$ равен треугольнику $CBD$ ($\triangle ABD = \triangle CBD$) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Следовательно, угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CBD$. Это означает, что луч $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ биссектриса, проведенная из вершины $B$ к основанию, по свойству равнобедренного треугольника является одновременно его медианой и высотой.

Поскольку прямая, содержащая отрезок $BD$, является биссектрисой угла $\angle ABC$, то она также содержит и высоту треугольника $ABC$, проведенную к основанию $AC$. По определению, высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой она проведена.

Следовательно, прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Перпендикулярность прямых $BD$ и $AC$ доказана. Доказательство основано на равенстве треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ (по трем сторонам). Из их равенства следует, что $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также высотой, поэтому $BD \perp AC$.

285. Перерисуйте в тетрадь рисунок 199. Проведите через каждую из точек $A$ и $B$ прямую, параллельную прямой $m$.

Рис. 199