Страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

303. Докажите, используя метод от противного, что если ни одна из высот треугольника не совпадает с биссектрисой, проведённой из этой же вершины, то треугольник не является равнобедренным.

Для доказательства используем метод от противного. Утверждение, которое нужно доказать, состоит из двух частей: условия ("ни одна из высот треугольника не совпадает с биссектрисой, проведённой из этой же вершины") и заключения ("треугольник не является равнобедренным").

Метод от противного заключается в том, чтобы предположить, что заключение неверно при истинности условия, и прийти к противоречию. Итак, предположим, что треугольник, у которого ни одна из высот не совпадает с биссектрисой из той же вершины, всё-таки является равнобедренным.

Пусть наш треугольник $ABC$ — равнобедренный. Это означает, что у него есть две равные стороны. Допустим, $AB = BC$. В этом случае $AC$ является основанием треугольника.

Проведём из вершины $B$ к основанию $AC$ биссектрису $BL$. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой.

Таким образом, отрезок $BL$ является одновременно и биссектрисой угла $\angle B$, и высотой, опущенной на сторону $AC$.

Из этого следует, что в нашем треугольнике $ABC$ нашлась высота ($BL$), которая совпадает с биссектрисой ($BL$), проведённой из той же вершины ($B$).

Это наблюдение напрямую противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что "ни одна из высот треугольника не совпадает с биссектрисой, проведённой из этой же вершины".

Поскольку наше предположение о том, что треугольник является равнобедренным, привело к противоречию с условием задачи, это предположение неверно. Следовательно, верно обратное: треугольник не является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

303. На рисунке 210 укажите углы:

1) односторонние при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AB$;

2) односторонние при прямых $CE$ и $CD$ и секущей $AD$;

3) накрест лежащие при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CE$;

4) соответственные при прямых $CE$ и $CD$ и секущей $AD$;

5) односторонние при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CE$.

Рис. 210

304. Докажите, используя метод от противного, что если стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ не равны, то его медиана $BD$ не является его высотой.

Для доказательства используем метод от противного. Пусть дан треугольник $ABC$, в котором стороны $AB$ и $BC$ не равны ($AB \neq BC$), а $BD$ — медиана, проведенная к стороне $AC$.

Предположим обратное тому, что требуется доказать: пусть медиана $BD$ является высотой треугольника $ABC$.

Рассмотрим, к каким выводам приводит это предположение.
1. Так как $BD$ — медиана, то по определению она делит сторону $AC$ пополам. Следовательно, $AD = DC$.
2. Так как $BD$ — высота (согласно нашему предположению), то по определению она перпендикулярна стороне $AC$. Следовательно, $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. В этих треугольниках:

• сторона $AD$ равна стороне $DC$ (поскольку $BD$ — медиана);
• сторона $BD$ является общей;
• угол $\angle BDA$ равен углу $\angle BDC$ (оба по $90^\circ$, поскольку $BD$ — высота по предположению).

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, $AB = BC$.

Однако этот вывод ($AB = BC$) противоречит исходному условию задачи, согласно которому $AB \neq BC$.

Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно является неверным. Следовательно, медиана $BD$ не является высотой, если стороны $AB$ и $BC$ не равны.

Ответ: Утверждение доказано. Если стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ не равны, то его медиана $BD$ не является его высотой.

304. На каких из рисунков 211, а-г прямые $a$ и $b$ параллельны?

Рис. 211

а

Углы: $28^\circ$, $29^\circ$.

б

Углы: $52^\circ$, $52^\circ$.

Рис. 211 (окончание)

в

Углы: $108^\circ$, $72^\circ$.

г

Углы: $16^\circ$, $154^\circ$.

305. Докажите методом от противного, что если разность двух углов равна $1^{\circ}$, то они не могут быть вертикальными.

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть существуют два угла, разность которых равна $1^\circ$, и при этом они являются вертикальными.

Пусть величины этих углов равны $\alpha$ и $\beta$.

Из условия задачи следует, что разность их величин равна $1^\circ$. Запишем это в виде уравнения (без ограничения общности, предположим $\alpha > \beta$):
$\alpha - \beta = 1^\circ$.

По нашему предположению, эти углы являются вертикальными. Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны. Следовательно, должно выполняться равенство:
$\alpha = \beta$.

Если $\alpha = \beta$, то их разность должна быть равна нулю:
$\alpha - \beta = 0$.

Таким образом, мы получили два противоречащих друг другу вывода:
1. Из условия задачи: $\alpha - \beta = 1^\circ$.
2. Из свойства вертикальных углов (наше предположение): $\alpha - \beta = 0$.

Поскольку $1^\circ \neq 0$, наше первоначальное предположение о том, что такие углы могут быть вертикальными, приводит к противоречию. Следовательно, это предположение неверно.

Ответ: Доказано, что если разность двух углов равна $1^\circ$, то они не могут быть вертикальными.

Рис. 212

305. Параллельны ли изображённые на рисунке 212 прямые a и b, если:

1) $ \angle 3 = \angle 6 $;

2) $ \angle 2 = \angle 6 $;

3) $ \angle 4 = 125^\circ $, $ \angle 6 = 55^\circ $;

4) $ \angle 2 = 35^\circ $, $ \angle 5 = 146^\circ $;

5) $ \angle 1 = 98^\circ $, $ \angle 6 = 82^\circ $;

6) $ \angle 1 = 143^\circ $, $ \angle 7 = 37^\circ $?

306. Докажите методом от противного, что из двух смежных углов хотя бы один не меньше $90^\circ$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Нам нужно доказать, что из двух смежных углов хотя бы один не меньше $90^\circ$.

Пусть даны два смежных угла, обозначим их величины как $\alpha$ и $\beta$.

Согласно свойству смежных углов, их сумма равна развернутому углу, то есть $180^\circ$:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Теперь сделаем предположение, которое является противоположным (противным) доказываемому утверждению. Предположим, что оба смежных угла меньше $90^\circ$. Запишем это предположение в виде двух неравенств:

$\alpha < 90^\circ$

$\beta < 90^\circ$

Сложим эти два верных (согласно нашему предположению) неравенства:

$\alpha + \beta < 90^\circ + 90^\circ$

Выполнив сложение в правой части, получим:

$\alpha + \beta < 180^\circ$

Полученный результат ($\alpha + \beta < 180^\circ$) напрямую противоречит свойству смежных углов, которое гласит, что их сумма равна $180^\circ$.

Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно является ложным. Следовательно, истинным является исходное утверждение: неверно, что оба смежных угла меньше $90^\circ$, а значит, хотя бы один из них должен быть больше или равен $90^\circ$ (то есть не меньше $90^\circ$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что из двух смежных углов хотя бы один не меньше $90^\circ$.

306. На каких из рисунков 213, а–г прямые m и n параллельны?

Рис. 213

а

m, n, l

$128^\circ$, $52^\circ$

б

m, n, l

$103^\circ$, $76^\circ$

в

m, n, l

$26^\circ$, $26^\circ$

г

m, n, l

$159^\circ$, $156^\circ$

307. Сформулируйте и докажите признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне.

Формулировка признака

Если боковая сторона и медиана, проведённая к боковой стороне, одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне, другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два равнобедренных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, в которых $AB=BC$ и $A_1B_1=B_1C_1$. Пусть $AM$ — медиана, проведённая к боковой стороне $BC$ в $\triangle ABC$, а $A_1M_1$ — медиана, проведённая к боковой стороне $B_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.

Согласно условию, нам дано:
1) Боковые стороны равны: $AB = A_1B_1$.
2) Медианы, проведённые к боковым сторонам, равны: $AM = A_1M_1$.

Необходимо доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ход доказательства:

1. Так как $AM$ является медианой к стороне $BC$, по определению медианы точка $M$ — середина отрезка $BC$. Следовательно, $BM = \frac{1}{2}BC$.

2. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Тогда мы можем выразить $BM$ через сторону $AB$: $BM = \frac{1}{2}AB$.

3. Проведём аналогичные рассуждения для треугольника $A_1B_1C_1$. Так как $A_1M_1$ — медиана к стороне $B_1C_1$, то $B_1M_1 = \frac{1}{2}B_1C_1$. Поскольку $\triangle A_1B_1C_1$ равнобедренный, $A_1B_1 = B_1C_1$. Следовательно, $B_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.

4. Теперь сравним отрезки $BM$ и $B_1M_1$. Из условия известно, что $AB = A_1B_1$. Из пунктов 2 и 3 мы получили, что $BM = \frac{1}{2}AB$ и $B_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$. Отсюда следует, что $BM = B_1M_1$.

5. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $A_1B_1M_1$. У них:
- $AB = A_1B_1$ (по условию);
- $AM = A_1M_1$ (по условию);
- $BM = B_1M_1$ (доказано в п. 4).
Таким образом, $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

6. Из равенства треугольников $ABM$ и $A_1B_1M_1$ следует равенство их соответственных углов. В частности, $\angle B = \angle B_1$.

7. Наконец, рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. У них:
- $AB = A_1B_1$ (по условию);
- $BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$ (свойство равнобедренных треугольников), поэтому $BC = B_1C_1$;
- $\angle B = \angle B_1$ (доказано в п. 6).
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Теорема доказана.

Ответ: Если боковая сторона и медиана, проведённая к боковой стороне, одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне, другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

307. На рисунке 214 укажите все пары параллельных прямых.

Рис. 214

Прямые: $a$, $b$, $c$, $d$, $m$. Секущая: $l$. Углы: $94^\circ$, $76^\circ$, $114^\circ$, $86^\circ$, $104^\circ$.

Рис. 215

Прямые: $a$, $b$, $c$. Секущая: $l$. Углы: $1$, $2$, $3$.

308. Сформулируйте и докажите признак равенства треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углу между медианой и этой стороной.

Формулировка признака

Если сторона треугольника, медиана, проведённая к этой стороне, и угол между этой медианой и стороной соответственно равны стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углу между медианой и стороной другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть $BM$ – медиана треугольника $\triangle ABC$, проведённая к стороне $AC$, а $B_1M_1$ – медиана треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, проведённая к стороне $A_1C_1$.

По условию теоремы нам дано: $AC = A_1C_1$, $BM = B_1M_1$ и один из углов между медианой и стороной, например, $\angle BMC = \angle B_1M_1C_1$. Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

1. Сначала рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle B_1M_1C_1$. В этих треугольниках сторона $BM$ равна стороне $B_1M_1$ и угол $\angle BMC$ равен углу $\angle B_1M_1C_1$ по условию.

2. Поскольку $BM$ и $B_1M_1$ – медианы, точки $M$ и $M_1$ являются серединами сторон $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Это означает, что $MC = \frac{1}{2}AC$ и $M_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$. Так как по условию $AC = A_1C_1$, то равны и их половины, то есть $MC = M_1C_1$.

3. Таким образом, в треугольниках $\triangle BMC$ и $\triangle B_1M_1C_1$ две стороны и угол между ними ($BM$ и $MC$, угол $\angle BMC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle B_1M_1C_1$ ($B_1M_1$ и $M_1C_1$, угол $\angle B_1M_1C_1$). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует, что $\triangle BMC = \triangle B_1M_1C_1$.

4. Из равенства треугольников $\triangle BMC$ и $\triangle B_1M_1C_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, сторона $BC$ равна стороне $B_1C_1$, и угол $\angle C$ равен углу $\angle C_1$.

5. Теперь вернемся к исходным треугольникам $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что сторона $BC = B_1C_1$ и угол $\angle C = \angle C_1$. По условию задачи, сторона $AC = A_1C_1$.

6. Следовательно, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ сторона $AC$ равна $A_1C_1$, сторона $BC$ равна $B_1C_1$, и угол $\angle C$ между этими сторонами равен углу $\angle C_1$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Замечание: Если бы в условии был дан другой угол между медианой и стороной, $\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$, то доказательство было бы аналогичным. Так как углы $\angle AMB$ и $\angle BMC$ – смежные, их сумма равна $180^\circ$. Из равенства $\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$ следует равенство $\angle BMC = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - \angle A_1M_1B_1 = \angle B_1M_1C_1$, и дальнейшие рассуждения не меняются.

Ответ: Признак сформулирован и доказан.

Рис. 214

Рис. 215

308. На рисунке 215 укажите параллельные прямые, если $\angle 1 = 53^\circ$, $\angle 2 = 128^\circ$, $\angle 3 = 127^\circ$.

Рис. 216

309. Докажите признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника.

Сформулируем доказываемый признак: если в двух треугольниках медиана и углы, на которые она разбивает угол, из вершины которого она проведена, соответственно равны, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Рассмотрим два треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Пусть $ BM $ и $ B_1M_1 $ — их медианы, проведенные из вершин $ B $ и $ B_1 $ соответственно. По условию, $ BM = B_1M_1 $, $ \angle ABM = \angle A_1B_1M_1 $ и $ \angle CBM = \angle C_1B_1M_1 $. Также, по определению медианы, $ M $ — середина $ AC $ (то есть $ AM = MC $), а $ M_1 $ — середина $ A_1C_1 $ (то есть $ A_1M_1 = M_1C_1 $).

Для доказательства выполним дополнительное построение. На продолжении медианы $ BM $ за точку $ M $ отложим отрезок $ MD $, равный $ BM $. Аналогично, на продолжении медианы $ B_1M_1 $ за точку $ M_1 $ отложим отрезок $ M_1D_1 $, равный $ B_1M_1 $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AMB $ и $ \triangle CMD $. У них $ AM = MC $ по определению медианы, $ BM = MD $ по построению, а углы $ \angle AMB $ и $ \angle CMD $ равны как вертикальные. Следовательно, $ \triangle AMB \cong \triangle CMD $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из этого равенства следует, что $ AB = CD $ и $ \angle ABM = \angle CDM $ (или $ \angle BDC $).

Точно так же доказывается равенство треугольников $ \triangle A_1M_1B_1 $ и $ \triangle C_1M_1D_1 $. У них $ A_1M_1 = M_1C_1 $, $ B_1M_1 = M_1D_1 $, $ \angle A_1M_1B_1 = \angle C_1M_1D_1 $. Значит, $ \triangle A_1M_1B_1 \cong \triangle C_1M_1D_1 $, откуда $ A_1B_1 = C_1D_1 $ и $ \angle A_1B_1M_1 = \angle B_1D_1C_1 $.

Теперь сравним вновь образованные треугольники $ \triangle BCD $ и $ \triangle B_1C_1D_1 $. По построению $ BD = BM + MD = 2BM $ и $ B_1D_1 = B_1M_1 + M_1D_1 = 2B_1M_1 $. Так как по условию $ BM = B_1M_1 $, то $ BD = B_1D_1 $.

Рассмотрим углы этих треугольников. Угол $ \angle CBD $ совпадает с углом $ \angle CBM $, а $ \angle C_1B_1D_1 $ совпадает с $ \angle C_1B_1M_1 $. По условию $ \angle CBM = \angle C_1B_1M_1 $, следовательно, $ \angle CBD = \angle C_1B_1D_1 $.

Далее, угол $ \angle BDC = \angle ABM $ (из $ \triangle AMB \cong \triangle CMD $). Угол $ \angle B_1D_1C_1 = \angle A_1B_1M_1 $ (из $ \triangle A_1M_1B_1 \cong \triangle C_1M_1D_1 $). По условию $ \angle ABM = \angle A_1B_1M_1 $, значит, $ \angle BDC = \angle B_1D_1C_1 $.

Таким образом, треугольники $ \triangle BCD $ и $ \triangle B_1C_1D_1 $ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как $ BD = B_1D_1 $, $ \angle CBD = \angle C_1B_1D_1 $ и $ \angle BDC = \angle B_1D_1C_1 $.

Из равенства $ \triangle BCD \cong \triangle B_1C_1D_1 $ следует равенство их соответствующих сторон: $ BC = B_1C_1 $ и $ CD = C_1D_1 $. Поскольку мы ранее установили, что $ AB = CD $ и $ A_1B_1 = C_1D_1 $, то из $ CD = C_1D_1 $ следует, что $ AB = A_1B_1 $.

Наконец, вернемся к исходным треугольникам $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы доказали, что $ AB = A_1B_1 $ и $ BC = B_1C_1 $. Найдем угол между этими сторонами. Угол $ \angle ABC = \angle ABM + \angle CBM $. Угол $ \angle A_1B_1C_1 = \angle A_1B_1M_1 + \angle C_1B_1M_1 $. По условию $ \angle ABM = \angle A_1B_1M_1 $ и $ \angle CBM = \angle C_1B_1M_1 $, поэтому $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $.

Таким образом, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Признак доказан.

Ответ: Признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника, доказан.

309. На рисунке 216 $AB = BC, CD = DK$. Докажите, что $AB \parallel DK$.

Рис. 217

310. Отметьте на прямой точки A, B и C. Поставьте вместо многоточия один из знаков «<», «>», «=», чтобы образовалась правильная запись:

1) $AB + BC \dots AC;$

2) $AB + AC \dots BC;$

3) $AC + BC \dots AB.$

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты расположения трех точек A, B и C на одной прямой. В зависимости от их взаимного порядка, соотношение между длинами отрезков будет меняться. Для любых трех точек на прямой, одна из них всегда лежит между двумя другими. Это приводит к трем основным случаям.

1) $AB + BC ... AC$

Рассмотрим возможные варианты расположения точек:

• Если точка B лежит между точками A и C, то по свойству сложения отрезков, длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC. В этом случае выполняется равенство: $AB + BC = AC$.

• Если точка A лежит между точками B и C, то $BC = BA + AC$, или $BC = AB + AC$. Тогда сумма $AB + BC = AB + (AB + AC) = 2AB + AC$. Поскольку длина отрезка $AB$ больше нуля, то $2AB + AC > AC$, следовательно, $AB + BC > AC$.

• Если точка C лежит между точками A и B, то $AB = AC + CB$, или $AB = AC + BC$. Тогда сумма $AB + BC = (AC + BC) + BC = AC + 2BC$. Поскольку длина отрезка $BC$ больше нуля, то $AC + 2BC > AC$, следовательно, $AB + BC > AC$.

Таким образом, в общем случае для трех точек на прямой выполняется неравенство $AB + BC \ge AC$. Так как задание требует поставить один знак для получения правильной записи, мы можем выбрать тот случай, который соответствует основному свойству измерения отрезков — случаю, когда одна точка лежит между двумя другими.

Ответ: $AB + BC = AC$ (это верно, когда точка B лежит между A и C).

2) $AB + AC ... BC$

Рассмотрим возможные варианты расположения точек:

• Если точка A лежит между точками B и C, то по свойству сложения отрезков, $BC = BA + AC$, что равносильно $BC = AB + AC$. В этом случае выполняется равенство: $AB + AC = BC$.

• Если точка B лежит между точками A и C, то $AC = AB + BC$. Тогда сумма $AB + AC = AB + (AB + BC) = 2AB + BC$. Так как $AB > 0$, то $2AB + BC > BC$, следовательно, $AB + AC > BC$.

• Если точка C лежит между точками A и B, то $AB = AC + BC$. Тогда сумма $AB + AC = (AC + BC) + AC = 2AC + BC$. Так как $AC > 0$, то $2AC + BC > BC$, следовательно, $AB + AC > BC$.

Таким образом, для любых трех точек на прямой всегда выполняется соотношение $AB + AC \ge BC$. Равенство достигается, когда точка A лежит на отрезке BC.

Ответ: $AB + AC = BC$ (это верно, когда точка A лежит между B и C).

3) $AC + BC ... AB$

Рассмотрим возможные варианты расположения точек:

• Если точка C лежит между точками A и B, то по свойству сложения отрезков, $AB = AC + CB$, что равносильно $AB = AC + BC$. В этом случае выполняется равенство: $AC + BC = AB$.

• Если точка A лежит между точками B и C, то $BC = AB + AC$. Тогда сумма $AC + BC = AC + (AB + AC) = AB + 2AC$. Так как $AC > 0$, то $AB + 2AC > AB$, следовательно, $AC + BC > AB$.

• Если точка B лежит между точками A и C, то $AC = AB + BC$. Тогда сумма $AC + BC = (AB + BC) + BC = AB + 2BC$. Так как $BC > 0$, то $AB + 2BC > AB$, следовательно, $AC + BC > AB$.

Таким образом, для любых трех точек на прямой всегда выполняется соотношение $AC + BC \ge AB$. Равенство достигается, когда точка C лежит на отрезке AB.

Ответ: $AC + BC = AB$ (это верно, когда точка C лежит между A и B).

310. На рисунке 217 $AK$ – биссектриса угла $BAC$, $AM = MK$. Докажите, что $MK \parallel AC$.

311. Угол между биссектрисой одного из смежных углов и их общей стороной составляет $\frac{1}{3}$ второго из смежных углов. Найдите градусные меры этих смежных углов.

Пусть даны два смежных угла, обозначим их градусные меры как $ \alpha $ и $ \beta $.

По свойству смежных углов, их сумма составляет $180^\circ$. Таким образом, мы имеем первое уравнение:
$ \alpha + \beta = 180^\circ $

Рассмотрим биссектрису одного из углов, например, угла $ \alpha $. Биссектриса делит угол на два равных угла. Угол между этой биссектрисой и общей стороной смежных углов будет равен половине угла $ \alpha $, то есть $ \frac{\alpha}{2} $.

Согласно условию задачи, этот угол составляет $ \frac{1}{3} $ второго смежного угла, то есть угла $ \beta $. Это дает нам второе уравнение:
$ \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}\beta $

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{3} \end{cases} $

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $ \alpha $ через $ \beta $:
$ \alpha = \frac{2\beta}{3} $

Подставим полученное выражение для $ \alpha $ в первое уравнение:
$ \frac{2\beta}{3} + \beta = 180^\circ $

Приведем слагаемые к общему знаменателю и выполним сложение:
$ \frac{2\beta}{3} + \frac{3\beta}{3} = 180^\circ $
$ \frac{5\beta}{3} = 180^\circ $

Теперь найдем значение $ \beta $:
$ 5\beta = 180^\circ \cdot 3 $
$ 5\beta = 540^\circ $
$ \beta = \frac{540^\circ}{5} $
$ \beta = 108^\circ $

Зная $ \beta $, найдем $ \alpha $ из первого уравнения:
$ \alpha = 180^\circ - \beta $
$ \alpha = 180^\circ - 108^\circ $
$ \alpha = 72^\circ $

Таким образом, градусные меры смежных углов равны $72^\circ$ и $108^\circ$.

Проверим результат. Угол между биссектрисой угла $72^\circ$ и общей стороной равен $ \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ $. Одна треть от второго угла $108^\circ$ равна $ \frac{108^\circ}{3} = 36^\circ $. Условие $36^\circ = 36^\circ$ выполняется, значит, решение верное.

Ответ: Градусные меры этих смежных углов равны $72^\circ$ и $108^\circ$.

311. На рисунке 218 $\angle ACB = \angle ACD, AD = CD$. Докажите, что $BC \parallel AD$.

Рис. 216

Рис. 217

Рис. 218

Рис. 215

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

312. Длины сторон прямоугольника ABCD равны 4 см и 3 см. Найдите сумму длин всех отрезков, расположенных внутри прямоугольника (рис. 215).

Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AD = 4$ см и $AB = 3$ см. Все отрезки, расположенные внутри прямоугольника, можно разделить на две группы: горизонтальные и вертикальные. Чтобы найти общую сумму их длин, найдем сумму длин отрезков в каждой группе по отдельности.

Рассмотрим все горизонтальные отрезки внутри прямоугольника. Если мысленно переместить (спроецировать) их все вертикально на сторону $AD$, то они в совокупности покроют всю сторону $AD$ без пропусков и наложений. Следовательно, сумма длин всех внутренних горизонтальных отрезков равна длине стороны $AD$.

Сумма длин горизонтальных отрезков = $AD = 4$ см.

Аналогично рассмотрим все вертикальные отрезки. Если мысленно переместить (спроецировать) их все горизонтально на сторону $AB$, то они в совокупности покроют всю сторону $AB$. Таким образом, сумма длин всех внутренних вертикальных отрезков равна длине стороны $AB$.

Сумма длин вертикальных отрезков = $AB = 3$ см.

Общая сумма длин всех отрезков внутри прямоугольника равна сумме длин всех горизонтальных и всех вертикальных отрезков:

Общая сумма = $4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Ответ: 7 см.

312. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle BCD$ – смежный с $\angle ACB$, $CM$ – биссектриса угла $BCD$. Докажите, что $AB \parallel CM$.