Номер 310, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 310, страница 88.

310. Отметьте на прямой точки A, B и C. Поставьте вместо многоточия один из знаков «<», «>», «=», чтобы образовалась правильная запись:

1) $AB + BC \dots AC;$

2) $AB + AC \dots BC;$

3) $AC + BC \dots AB.$

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты расположения трех точек A, B и C на одной прямой. В зависимости от их взаимного порядка, соотношение между длинами отрезков будет меняться. Для любых трех точек на прямой, одна из них всегда лежит между двумя другими. Это приводит к трем основным случаям.

1) $AB + BC ... AC$

Рассмотрим возможные варианты расположения точек:

• Если точка B лежит между точками A и C, то по свойству сложения отрезков, длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC. В этом случае выполняется равенство: $AB + BC = AC$.

• Если точка A лежит между точками B и C, то $BC = BA + AC$, или $BC = AB + AC$. Тогда сумма $AB + BC = AB + (AB + AC) = 2AB + AC$. Поскольку длина отрезка $AB$ больше нуля, то $2AB + AC > AC$, следовательно, $AB + BC > AC$.

• Если точка C лежит между точками A и B, то $AB = AC + CB$, или $AB = AC + BC$. Тогда сумма $AB + BC = (AC + BC) + BC = AC + 2BC$. Поскольку длина отрезка $BC$ больше нуля, то $AC + 2BC > AC$, следовательно, $AB + BC > AC$.

Таким образом, в общем случае для трех точек на прямой выполняется неравенство $AB + BC \ge AC$. Так как задание требует поставить один знак для получения правильной записи, мы можем выбрать тот случай, который соответствует основному свойству измерения отрезков — случаю, когда одна точка лежит между двумя другими.

Ответ: $AB + BC = AC$ (это верно, когда точка B лежит между A и C).

2) $AB + AC ... BC$

Рассмотрим возможные варианты расположения точек:

• Если точка A лежит между точками B и C, то по свойству сложения отрезков, $BC = BA + AC$, что равносильно $BC = AB + AC$. В этом случае выполняется равенство: $AB + AC = BC$.

• Если точка B лежит между точками A и C, то $AC = AB + BC$. Тогда сумма $AB + AC = AB + (AB + BC) = 2AB + BC$. Так как $AB > 0$, то $2AB + BC > BC$, следовательно, $AB + AC > BC$.

• Если точка C лежит между точками A и B, то $AB = AC + BC$. Тогда сумма $AB + AC = (AC + BC) + AC = 2AC + BC$. Так как $AC > 0$, то $2AC + BC > BC$, следовательно, $AB + AC > BC$.

Таким образом, для любых трех точек на прямой всегда выполняется соотношение $AB + AC \ge BC$. Равенство достигается, когда точка A лежит на отрезке BC.

Ответ: $AB + AC = BC$ (это верно, когда точка A лежит между B и C).

3) $AC + BC ... AB$

Рассмотрим возможные варианты расположения точек:

• Если точка C лежит между точками A и B, то по свойству сложения отрезков, $AB = AC + CB$, что равносильно $AB = AC + BC$. В этом случае выполняется равенство: $AC + BC = AB$.

• Если точка A лежит между точками B и C, то $BC = AB + AC$. Тогда сумма $AC + BC = AC + (AB + AC) = AB + 2AC$. Так как $AC > 0$, то $AB + 2AC > AB$, следовательно, $AC + BC > AB$.

• Если точка B лежит между точками A и C, то $AC = AB + BC$. Тогда сумма $AC + BC = (AB + BC) + BC = AB + 2BC$. Так как $BC > 0$, то $AB + 2BC > AB$, следовательно, $AC + BC > AB$.

Таким образом, для любых трех точек на прямой всегда выполняется соотношение $AC + BC \ge AB$. Равенство достигается, когда точка C лежит на отрезке AB.

Ответ: $AC + BC = AB$ (это верно, когда точка C лежит между A и B).

310. На рисунке 217 $AK$ – биссектриса угла $BAC$, $AM = MK$. Докажите, что $MK \parallel AC$.