Номер 305, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 305, страница 88.

305. Докажите методом от противного, что если разность двух углов равна $1^{\circ}$, то они не могут быть вертикальными.

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть существуют два угла, разность которых равна $1^\circ$, и при этом они являются вертикальными.

Пусть величины этих углов равны $\alpha$ и $\beta$.

Из условия задачи следует, что разность их величин равна $1^\circ$. Запишем это в виде уравнения (без ограничения общности, предположим $\alpha > \beta$):
$\alpha - \beta = 1^\circ$.

По нашему предположению, эти углы являются вертикальными. Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны. Следовательно, должно выполняться равенство:
$\alpha = \beta$.

Если $\alpha = \beta$, то их разность должна быть равна нулю:
$\alpha - \beta = 0$.

Таким образом, мы получили два противоречащих друг другу вывода:
1. Из условия задачи: $\alpha - \beta = 1^\circ$.
2. Из свойства вертикальных углов (наше предположение): $\alpha - \beta = 0$.

Поскольку $1^\circ \neq 0$, наше первоначальное предположение о том, что такие углы могут быть вертикальными, приводит к противоречию. Следовательно, это предположение неверно.

Ответ: Доказано, что если разность двух углов равна $1^\circ$, то они не могут быть вертикальными.

Рис. 212

305. Параллельны ли изображённые на рисунке 212 прямые a и b, если:

1) $ \angle 3 = \angle 6 $;

2) $ \angle 2 = \angle 6 $;

3) $ \angle 4 = 125^\circ $, $ \angle 6 = 55^\circ $;

4) $ \angle 2 = 35^\circ $, $ \angle 5 = 146^\circ $;

5) $ \angle 1 = 98^\circ $, $ \angle 6 = 82^\circ $;

6) $ \angle 1 = 143^\circ $, $ \angle 7 = 37^\circ $?