Номер 300, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 300, страница 87.

300. Сформулируйте утверждение, обратное данному.

1) если два треугольника не равны, то их периметры также не равны;

2) если градусная мера угла больше $90^\circ$, то он тупой.

Для какого из данных утверждений:

1) прямое и обратное утверждения истинны;

2) прямое утверждение истинно, а обратное — ложно;

3) прямое утверждение ложно, а обратное — истинно?

1) Исходное утверждение: «если два треугольника не равны, то их периметры также не равны».

Сначала сформулируем обратное утверждение, поменяв местами условие («два треугольника не равны») и заключение («их периметры также не равны»).

Обратное утверждение: «если периметры двух треугольников не равны, то эти треугольники не равны».

Теперь проанализируем истинность прямого и обратного утверждений.

• Прямое утверждение ложно. Можно привести контрпример: два треугольника могут быть не равны, но иметь одинаковый периметр. Например, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 имеет периметр $P_1 = 3 + 4 + 5 = 12$. Равносторонний треугольник со стороной 4 имеет периметр $P_2 = 4 + 4 + 4 = 12$. Периметры равны, но треугольники не равны.
• Обратное утверждение истинно. Если бы треугольники были равны, то их соответствующие стороны были бы равны, а значит, и их периметры (суммы длин сторон) были бы обязательно равны. Из этого следует, что если периметры не равны, то и треугольники не могут быть равны.

Таким образом, для первого утверждения прямое утверждение ложно, а обратное — истинно. Это соответствует случаю 3).

Ответ: обратное утверждение: «если периметры двух треугольников не равны, то эти треугольники не равны». Для этого утверждения выполняется условие 3): прямое утверждение ложно, а обратное — истинно.

---

2) Исходное утверждение: «если градусная мера угла больше $90^\circ$, то он тупой».

Сформулируем обратное утверждение, поменяв местами условие («градусная мера угла больше $90^\circ$») и заключение («он тупой»).

Обратное утверждение: «если угол тупой, то его градусная мера больше $90^\circ$».

Проанализируем истинность прямого и обратного утверждений.

• Прямое утверждение истинно. По определению, тупым называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Таким образом, если градусная мера угла больше $90^\circ$ (и он является углом в евклидовой геометрии, т.е. меньше $180^\circ$), то он тупой.
• Обратное утверждение истинно. Это также следует непосредственно из определения тупого угла. Если угол является тупым, то его градусная мера по определению больше $90^\circ$.

Таким образом, для второго утверждения и прямое, и обратное утверждения являются истинными. Это соответствует случаю 1).

Ответ: обратное утверждение: «если угол тупой, то его градусная мера больше $90^\circ$». Для этого утверждения выполняется условие 1): прямое и обратное утверждения истинны.

300. Проведите две прямые $AB$ и $CD$. Проведите прямую $MK$, пересекающую каждую из прямых $AB$ и $CD$. Обозначьте точку пересечения прямых $AB$ и $MK$ буквой $O$, а прямых $CD$ и $MK$ – буквой $E$. Заполните пропуски в тексте:

1) углы $AOM$ и ... — соответственные;

2) углы $AOE$ и ... — соответственные;

3) углы $AOE$ и ... — накрест лежащие;

4) углы $AOE$ и ... — односторонние.

Укажите, какими углами (соответственными, накрест лежащими или односторонними) являются:

1) $∠BOM$ и $∠DEM$;

2) $∠BOE$ и $∠DEM$;

3) $∠BOE$ и $∠OEC$.