Номер 299, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 299, страница 87.

299. Сформулируйте утверждение, обратное данному:

1) если треугольник равносторонний, то его углы равны;

2) если два угла вертикальные, то их биссектрисы являются дополнительными лучами;

3) если угол между биссектрисами двух углов прямой, то эти углы смежные;

4) если сторона и противолежащий ей угол одного треугольника равны соответственно стороне и противолежащему ей углу другого треугольника, то эти треугольники равны.

Для какого из данных утверждений:

1) прямое и обратное утверждения истинны;

2) прямое утверждение истинно, а обратное — ложно;

3) прямое утверждение ложно, а обратное — истинно?

1) Обратное утверждение: если все углы треугольника равны, то этот треугольник равносторонний.
Прямое утверждение истинно, так как является свойством равностороннего треугольника. Обратное утверждение также истинно и является признаком равностороннего треугольника. Следовательно, для этого утверждения истинны и прямое, и обратное утверждения.
Ответ: 1) прямое и обратное утверждения истинны.

2) Обратное утверждение: если биссектрисы двух углов являются дополнительными лучами, то эти углы вертикальные.
Прямое утверждение истинно. Пусть даны вертикальные углы. Угол между их биссектрисами будет равен сумме половины одного из этих углов, смежного с ним угла и половины второго угла. Так как вертикальные углы равны, а сумма одного из них со смежным углом равна $180^{\circ}$, то и угол между биссектрисами будет равен $180^{\circ}$. Обратное утверждение ложно, так как можно построить контрпример с двумя не равными и не вертикальными углами, биссектрисы которых образуют развернутый угол (являются дополнительными лучами).
Ответ: 2) прямое утверждение истинно, а обратное – ложно.

3) Обратное утверждение: если два угла смежные, то угол между их биссектрисами прямой.
Прямое утверждение ложно. Можно взять два угла, которые не являются смежными (например, не имеют общей стороны или их сумма не равна $180^{\circ}$), но угол между их биссектрисами будет прямым. Обратное утверждение истинно. Сумма смежных углов $\alpha$ и $\beta$ равна $180^{\circ}$. Угол между их биссектрисами равен сумме половин этих углов: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$.
Ответ: 3) прямое утверждение ложно, а обратное – истинно.

4) Обратное утверждение: если два треугольника равны, то сторона и противолежащий ей угол одного треугольника равны соответственно стороне и противолежащему ей углу другого треугольника.
Прямое утверждение ложно. Равенство стороны и противолежащего ей угла не является признаком равенства треугольников (этот случай известен как неоднозначный случай SSA). Можно построить два различных треугольника, которые удовлетворяют данному условию, но не являются равными. Обратное утверждение истинно, так как по определению у равных треугольников все соответственные элементы (стороны и углы) равны.
Ответ: 3) прямое утверждение ложно, а обратное – истинно.

299. Катя и Женя подошли к квадратному пруду, в середине которого находится квадратный остров (рис. 201). На берегу они нашли две доски чуть-чуть короче ширины пролива между берегом пруда и островом. Как им всё-таки попасть на остров, используя эти доски?