Номер 6, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 6, страница 86.

6. Какие из теорем 1.1, 4.2, 5.1, 8.3 доказаны методом от противного?

Для ответа на данный вопрос необходимо проанализировать доказательства указанных теорем. Поскольку содержание теорем под конкретными номерами может различаться в разных учебниках, мы будем исходить из наиболее стандартной нумерации и содержания тем в курсе планиметрии для средней школы.

Метод доказательства «от противного» (латинское название — reductio ad absurdum) состоит в следующем: для доказательства некоторого утверждения делается предположение, что оно ложно. Затем из этого предположения путем логических рассуждений выводится противоречие (либо с условием теоремы, либо с ранее доказанной теоремой или аксиомой). Это противоречие означает, что первоначальное предположение было неверным, а значит, исходное утверждение истинно.

Теорема 1.1

Как правило, это одна из первых теорем курса геометрии, устанавливающая базовые свойства фигур. Например, теорема о равенстве вертикальных углов. Её доказательство является прямым и не использует метод от противного. Ход доказательства: если углы $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные, а угол $\angle 2$ — смежный с каждым из них, то из равенств для смежных углов $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ и $\angle 3 + \angle 2 = 180^\circ$ напрямую следует, что $\angle 1 = \angle 3$. Здесь нет предположения, обратного доказываемому утверждению.

Теорема 4.2

В разделе, посвященном параллельным прямым, под таким номером часто встречается один из признаков параллельности прямых. Например: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны». Доказательство этой теоремы является классическим примером применения метода от противного.Ход доказательства: Предположим, что прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $c$, не параллельны, хотя накрест лежащие углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны. Если прямые не параллельны, они должны пересечься в некоторой точке $M$. Тогда точки пересечения секущей с прямыми (пусть это будут $A$ и $B$) и точка $M$ образуют треугольник $ABM$. В этом треугольнике один из углов (например, $\angle 1$) является внешним, а другой ($\angle 2$) — внутренним, не смежным с ним. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним, то есть должно выполняться неравенство $\angle 1 > \angle 2$. Это вступает в противоречие с условием теоремы о том, что $\angle 1 = \angle 2$. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямые не параллельны, было неверным. Значит, прямые параллельны.

Теорема 5.1

Эта теорема обычно находится в главе «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Скорее всего, это теорема: «В треугольнике против большего угла лежит большая сторона». Данная теорема также доказывается методом от противного.Ход доказательства: Пусть в треугольнике $ABC$ дано, что $\angle B > \angle C$. Требуется доказать, что сторона $AC > AB$. Предположим противное: $AC \le AB$. Это предположение допускает два случая:
1. Если $AC = AB$, то треугольник $ABC$ является равнобедренным, и по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны: $\angle B = \angle C$. Это противоречит условию $\angle B > \angle C$.
2. Если $AC < AB$, то по теореме о соотношении сторон и углов (согласно которой против большей стороны лежит больший угол) должно выполняться неравенство $\angle C > \angle B$. Это также противоречит исходному условию $\angle B > \angle C$.
Поскольку оба случая, вытекающие из нашего предположения, приводят к противоречию, предположение неверно. Следовательно, истинно утверждение $AC > AB$.

Теорема 8.3

В главе «Окружность» это, с большой вероятностью, «Теорема о свойстве касательной», которая гласит: «Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания». Доказательство этой теоремы также основано на методе от противного.Ход доказательства: Пусть прямая $p$ касается окружности с центром в точке $O$ в точке $A$. Нужно доказать, что $OA \perp p$. Предположим противное: радиус $OA$ не перпендикулярен касательной $p$. Тогда из точки $O$ можно опустить на прямую $p$ перпендикуляр $OH$, основание которого (точка $H$) не совпадает с точкой $A$. В получившемся прямоугольном треугольнике $OAH$ (с прямым углом при вершине $H$) отрезок $OA$ является гипотенузой, а $OH$ — катетом. Следовательно, гипотенуза длиннее катета: $OH < OA$. Но $OA$ — это радиус окружности. Значит, расстояние от центра окружности до точки $H$, лежащей на прямой $p$, меньше радиуса. Это означает, что точка $H$ лежит внутри круга, а прямая $p$ должна пересекать окружность в двух точках, то есть быть секущей. Это противоречит определению касательной как прямой, имеющей с окружностью ровно одну общую точку. Таким образом, наше предположение было неверным, и, следовательно, $OA \perp p$.

Вывод: На основании анализа наиболее вероятного содержания теорем можно заключить, что теоремы 4.2, 5.1 и 8.3 доказываются методом от противного, в то время как теорема 1.1, как правило, доказывается прямым методом.

Ответ: Теоремы 4.2, 5.1 и 8.3.

6. Какие из теорем 1.1, 4.2, 5.1, 8.3 доказаны методом от противного?