Страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Из каких двух частей состоит формулировка теоремы?

Формулировка любой теоремы состоит из двух логически связанных частей: условия и заключения. Эти части представляют собой структуру логического следования (импликации), которую чаще всего можно выразить в виде «Если..., то...».

1. Условие (гипотеза)
Это часть теоремы, в которой описываются исходные данные или предположения. Условие определяет, при каких обстоятельствах утверждение будет верным. В стандартной формулировке «Если А, то Б» условием является утверждение А. Оно содержит то, что дано.

2. Заключение (тезис)
Это часть теоремы, которая содержит утверждение, требующее доказательства. Заключение логически вытекает из условия. В формулировке «Если А, то Б» заключением является утверждение Б. Оно содержит то, что требуется доказать.

Например, рассмотрим теорему о вертикальных углах: «Если два угла являются вертикальными, то они равны».
Здесь:
- Условие: два угла являются вертикальными.
- Заключение: они равны.

Даже если теорема сформулирована без слов «если» и «то», в ней всегда можно выделить эти две части. Например, теорема Пифагора: «В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов».
Переформулируем: «Если треугольник является прямоугольным, то в нем квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов ($c^2 = a^2 + b^2$)».
Здесь:
- Условие: треугольник является прямоугольным.
- Заключение: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Ответ: Формулировка теоремы состоит из условия и заключения.

1. Из каких двух частей состоит формулировка теоремы?

2. Как называют теоремы, в которых перечислены свойства, позволяющие отнести фигуру к какому-то виду (классу)?

Теоремы, в которых перечислены свойства, позволяющие отнести фигуру к какому-то виду (классу), называют признаками или теоремами-признаками.

Признак — это утверждение, которое устанавливает достаточные условия для того, чтобы объект принадлежал определенному классу. Иными словами, если объект удовлетворяет этим условиям, то он гарантированно относится к данному классу. Признаки отвечают на вопрос: «Как распознать объект?».

Важно отличать признаки от свойств. Свойство — это характеристика, которой обладает любой объект, уже принадлежащий данному классу. Свойства отвечают на вопрос: «Каковы особенности объектов этого класса?».

Рассмотрим на примере параллелограмма:

• Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Используя этот признак, мы можем по определенным характеристикам четырехугольника сделать вывод, что он является параллелограммом.
• Свойство параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны. Это утверждение описывает характеристику фигуры, о которой мы уже знаем, что она является параллелограммом.

Таким образом, теоремы, служащие для классификации фигур, называются признаками.

Ответ: Признаки (или теоремы-признаки).

2. Как называют теоремы, в которых перечислены свойства, относящие фигуру к какому-то виду (классу)?

3. Как называют теорему, непосредственно следующую из аксиомы или другой теоремы?

Теорему, которая является прямым и простым выводом из аксиомы или другой, уже доказанной теоремы, называют следствием.

В математике и логике следствие — это утверждение, которое легко доказывается с использованием ранее установленного факта (аксиомы или теоремы). Доказательство следствия, как правило, очень короткое и не требует сложных логических построений, так как оно почти очевидно вытекает из исходного положения.

Пример:

Теорема: Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$.
Доказательство: Если один угол равен $90^\circ$, то на два других остается $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Следствие 2: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство: Пусть углы треугольника $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Тогда $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Внешний угол при вершине с углом $\gamma$ равен $180^\circ - \gamma$. Из первого равенства $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$. Следовательно, внешний угол равен $\alpha + \beta$.

Оба этих утверждения являются следствиями, так как они напрямую и просто доказываются из основной теоремы.

Ответ: следствие.

щие фигуру к какому-то виду (классу)?

3. Как называют теорему, непосредственно следующую из аксиомы или другой теоремы?

4. Как называют две теоремы, в которых условие и заключение поменяли местами?

Две теоремы, в которых условие и заключение поменяли местами, называют взаимно обратными. Одну из этих теорем называют прямой, а другую — обратной.

Любую теорему можно представить в виде логического утверждения «Если $A$, то $B$», где $A$ — это условие (посылка), а $B$ — заключение (следствие). Символически это записывают как $A \Rightarrow B$.

Тогда, если прямая теорема имеет вид «Если $A$, то $B$», то обратная теорема будет формулироваться как «Если $B$, то $A$» (символически: $B \Rightarrow A$).

Важно понимать, что верность прямой теоремы не гарантирует верности обратной. Истинность обратной теоремы всегда требует отдельного доказательства.

Пример:

Прямая теорема (свойство равнобедренного треугольника): Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.
Здесь условие ($A$): треугольник равнобедренный.
Заключение ($B$): углы при основании равны.

Обратная теорема (признак равнобедренного треугольника): Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.
Здесь условие ($B$): в треугольнике два угла равны.
Заключение ($A$): треугольник является равнобедренным.

В этом конкретном примере верны обе теоремы: и прямая, и обратная.

Ответ: Взаимно обратные теоремы (прямая и обратная).

или другой теореме.

4. Как называют теоремы, в которых условие и заключение поменяли местами?

5. В чём состоит метод доказательства от противного?

Метод доказательства от противного (лат. reductio ad absurdum — «сведение к абсурду») — это один из видов косвенного доказательства. Его суть заключается в том, чтобы доказать истинность некоторого утверждения, мы временно предполагаем, что истинным является его отрицание (противоположное утверждение), а затем, с помощью логически верных рассуждений, приходим к противоречию.

Суть метода

Если мы хотим доказать утверждение А, мы начинаем с предположения, что А ложно, то есть истинно утверждение не А. Далее, опираясь на это предположение и уже известные истинные факты (аксиомы, ранее доказанные теоремы), мы строим цепочку логических выводов. Если эта цепочка приводит нас к заведомо ложному утверждению (противоречию), например, $1=0$, или к утверждению, которое противоречит нашему исходному предположению или известным фактам, то это означает, что наше первоначальное предположение (не А) было неверным. Согласно закону исключённого третьего, если утверждение не А ложно, то утверждение А должно быть истинным. Что и требовалось доказать.

Алгоритм доказательства

Процесс доказательства от противного можно разбить на следующие шаги:
1. Формулируется утверждение (тезис), которое необходимо доказать.
2. Делается предположение, что доказываемое утверждение неверно (принимается антитезис).
3. Из этого предположения с помощью логических рассуждений выводится следствие (или несколько следствий).
4. Показывается, что выведенное следствие вступает в противоречие с:
а) ранее доказанной теоремой или аксиомой;
б) условием доказываемого утверждения;
в) сделанным ранее предположением (антитезисом).
5. Делается вывод, что раз мы пришли к противоречию, то наше первоначальное предположение (антитезис) было ложным.
6. На основании ложности антитезиса заключается, что исходный тезис является истинным.

Пример: Доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$

Тезис: Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.
Доказательство:
1. Предположим противное (антитезис): число $\sqrt{2}$ является рациональным.
2. По определению, рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Пусть $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$, где дробь $\frac{m}{n}$ несократима.
3. Возведем обе части равенства в квадрат: $2 = (\frac{m}{n})^2$, что равносильно $2 = \frac{m^2}{n^2}$, откуда получаем $m^2 = 2n^2$.
4. Из равенства $m^2 = 2n^2$ следует, что $m^2$ является чётным числом (так как оно равно произведению 2 на целое число $n^2$). Если квадрат числа чётный, то и само число является чётным. Следовательно, $m$ — чётное число.
5. Раз $m$ чётное, его можно представить в виде $m = 2k$, где $k$ — некоторое целое число.
6. Подставим это выражение для $m$ в наше уравнение $m^2 = 2n^2$: $(2k)^2 = 2n^2$, что дает $4k^2 = 2n^2$.
7. Разделим обе части на 2: $2k^2 = n^2$. Из этого равенства следует, что $n^2$ также является чётным числом, а значит, и само число $n$ — чётное.
8. Получаем противоречие. Мы выяснили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ являются чётными числами. Это означает, что дробь $\frac{m}{n}$ можно сократить на 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.
9. Вывод. Поскольку наше предположение о рациональности $\sqrt{2}$ привело к противоречию, это предположение неверно.
10. Заключение. Следовательно, число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Ответ: Метод доказательства от противного заключается в том, что для доказательства истинности утверждения предполагают, что оно ложно, и из этого предположения путем логических рассуждений выводят противоречие. Полученное противоречие доказывает ложность сделанного предположения и, следовательно, истинность исходного утверждения.

местами?

5. В чём состоит метод доказательства от противного?

6. Какие из теорем 1.1, 4.2, 5.1, 8.3 доказаны методом от противного?

Для ответа на данный вопрос необходимо проанализировать доказательства указанных теорем. Поскольку содержание теорем под конкретными номерами может различаться в разных учебниках, мы будем исходить из наиболее стандартной нумерации и содержания тем в курсе планиметрии для средней школы.

Метод доказательства «от противного» (латинское название — reductio ad absurdum) состоит в следующем: для доказательства некоторого утверждения делается предположение, что оно ложно. Затем из этого предположения путем логических рассуждений выводится противоречие (либо с условием теоремы, либо с ранее доказанной теоремой или аксиомой). Это противоречие означает, что первоначальное предположение было неверным, а значит, исходное утверждение истинно.

Как правило, это одна из первых теорем курса геометрии, устанавливающая базовые свойства фигур. Например, теорема о равенстве вертикальных углов. Её доказательство является прямым и не использует метод от противного. Ход доказательства: если углы $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные, а угол $\angle 2$ — смежный с каждым из них, то из равенств для смежных углов $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ и $\angle 3 + \angle 2 = 180^\circ$ напрямую следует, что $\angle 1 = \angle 3$. Здесь нет предположения, обратного доказываемому утверждению.

В разделе, посвященном параллельным прямым, под таким номером часто встречается один из признаков параллельности прямых. Например: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны». Доказательство этой теоремы является классическим примером применения метода от противного.Ход доказательства: Предположим, что прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $c$, не параллельны, хотя накрест лежащие углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны. Если прямые не параллельны, они должны пересечься в некоторой точке $M$. Тогда точки пересечения секущей с прямыми (пусть это будут $A$ и $B$) и точка $M$ образуют треугольник $ABM$. В этом треугольнике один из углов (например, $\angle 1$) является внешним, а другой ($\angle 2$) — внутренним, не смежным с ним. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним, то есть должно выполняться неравенство $\angle 1 > \angle 2$. Это вступает в противоречие с условием теоремы о том, что $\angle 1 = \angle 2$. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямые не параллельны, было неверным. Значит, прямые параллельны.

Эта теорема обычно находится в главе «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Скорее всего, это теорема: «В треугольнике против большего угла лежит большая сторона». Данная теорема также доказывается методом от противного.Ход доказательства: Пусть в треугольнике $ABC$ дано, что $\angle B > \angle C$. Требуется доказать, что сторона $AC > AB$. Предположим противное: $AC \le AB$. Это предположение допускает два случая:
1. Если $AC = AB$, то треугольник $ABC$ является равнобедренным, и по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны: $\angle B = \angle C$. Это противоречит условию $\angle B > \angle C$.
2. Если $AC < AB$, то по теореме о соотношении сторон и углов (согласно которой против большей стороны лежит больший угол) должно выполняться неравенство $\angle C > \angle B$. Это также противоречит исходному условию $\angle B > \angle C$.
Поскольку оба случая, вытекающие из нашего предположения, приводят к противоречию, предположение неверно. Следовательно, истинно утверждение $AC > AB$.

В главе «Окружность» это, с большой вероятностью, «Теорема о свойстве касательной», которая гласит: «Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания». Доказательство этой теоремы также основано на методе от противного.Ход доказательства: Пусть прямая $p$ касается окружности с центром в точке $O$ в точке $A$. Нужно доказать, что $OA \perp p$. Предположим противное: радиус $OA$ не перпендикулярен касательной $p$. Тогда из точки $O$ можно опустить на прямую $p$ перпендикуляр $OH$, основание которого (точка $H$) не совпадает с точкой $A$. В получившемся прямоугольном треугольнике $OAH$ (с прямым углом при вершине $H$) отрезок $OA$ является гипотенузой, а $OH$ — катетом. Следовательно, гипотенуза длиннее катета: $OH < OA$. Но $OA$ — это радиус окружности. Значит, расстояние от центра окружности до точки $H$, лежащей на прямой $p$, меньше радиуса. Это означает, что точка $H$ лежит внутри круга, а прямая $p$ должна пересекать окружность в двух точках, то есть быть секущей. Это противоречит определению касательной как прямой, имеющей с окружностью ровно одну общую точку. Таким образом, наше предположение было неверным, и, следовательно, $OA \perp p$.

Вывод: На основании анализа наиболее вероятного содержания теорем можно заключить, что теоремы 4.2, 5.1 и 8.3 доказываются методом от противного, в то время как теорема 1.1, как правило, доказывается прямым методом.

Ответ: Теоремы 4.2, 5.1 и 8.3.

6. Какие из теорем 1.1, 4.2, 5.1, 8.3 доказаны методом от противного?

7. В чём состоит приём дополнительного построения?

Приём дополнительного построения в геометрии — это метод решения задач, который заключается в том, что к исходной фигуре, заданной в условии, добавляют новые элементы: точки, отрезки, прямые, лучи или даже целые фигуры (например, окружности). Это делается не произвольно, а с определённой целью.

Главная задача дополнительного построения — преобразовать имеющуюся геометрическую конфигурацию так, чтобы она стала проще для анализа или чтобы в ней проявились скрытые свойства и связи между элементами. Это позволяет свести сложную или нестандартную задачу к одной или нескольким более простым и известным задачам. После того как построение выполнено, часто становится возможным применить известные теоремы, формулы или свойства фигур, которые были неприменимы к исходной конфигурации.

К наиболее распространённым видам дополнительных построений относятся:

• Проведение прямой через какую-либо точку параллельно существующей прямой. Это позволяет использовать свойства углов, образующихся при пересечении параллельных прямых секущей (накрест лежащих, соответственных, односторонних).
• Проведение высот, медиан, биссектрис в треугольниках. Например, проведение высоты часто создаёт прямоугольные треугольники, что позволяет применить теорему Пифагора и тригонометрические функции.
• Удвоение медианы треугольника. Этот приём позволяет достроить исходный треугольник до параллелограмма и использовать свойства его сторон и диагоналей.
• Проведение средних линий в треугольниках и трапециях.
• Построение окружности, описанной около многоугольника или вписанной в него, чтобы применить свойства хорд, касательных, центральных и вписанных углов.
• Симметричное отражение части фигуры относительно какой-либо прямой.

Выбор правильного дополнительного построения — это ключевой и часто творческий момент в решении задачи, который зависит от её условия и требует геометрической интуиции и опыта.

Ответ: Приём дополнительного построения заключается в добавлении к исходной геометрической фигуре новых элементов (линий, точек и т.д.), не указанных в условии, для того чтобы упростить задачу, выявить скрытые свойства фигуры и применить известные теоремы для нахождения решения.

б. Какие из теорем...

7. В чём состоит приём дополнительного построения?