Страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если высота треугольника делит сторону, к которой она проведена, на равные отрезки, то этот треугольник равнобедренный

Б) если медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным

В) если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы

Г) если два угла треугольника равны, то биссектриса третьего угла делит противолежащую сторону треугольника на равные отрезки

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, проанализируем каждое из них по отдельности.

А) если высота треугольника делит сторону, к которой она проведена, на равные отрезки, то этот треугольник равнобедренный

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ к стороне $AC$. По условию, $AH = HC$. Поскольку $BH$ является высотой, она перпендикулярна $AC$, следовательно, углы $\angle BHA$ и $\angle BHC$ — прямые. Рассмотрим два прямоугольных треугольника $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. У них общий катет $BH$ и равные катеты $AH$ и $HC$. По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, $\triangle ABH \cong \triangle CBH$. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$. Треугольник $ABC$ имеет две равные стороны, значит, он равнобедренный. Утверждение верно.

Б) если медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным

Данное утверждение неверно. Для его опровержения достаточно привести контрпример. Возьмём равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны ($AC = BC$), а основание $AB$ им не равно. Такой треугольник по определению является равнобедренным. Проведём из вершины $A$ (угла при основании) медиану $AM$ к стороне $BC$ и биссектрису $AL$ угла $\angle BAC$.

• Так как $AM$ — медиана, она делит сторону $BC$ пополам: $BM = MC$.
• По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$.

Поскольку в нашем треугольнике $AB \neq AC$, то и $\frac{AB}{AC} \neq 1$, что означает $BL \neq LC$. Так как $M$ — середина $BC$, а точка $L$ не является серединой $BC$, то точки $M$ и $L$ не совпадают. Следовательно, медиана $AM$ и биссектриса $AL$ не совпадают. Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник, в котором медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, не совпадают. Это противоречит утверждению.

В) если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы

В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны. Важным свойством такого треугольника является то, что высота, медиана и биссектриса, проведённые из любой его вершины, совпадают. Кроме того, все три высоты в равностороннем треугольнике равны между собой, как и все три биссектрисы. Следовательно, длина любой высоты будет равна длине любой биссектрисы. Утверждение верно.

Г) если два угла треугольника равны, то биссектриса третьего угла делит противолежащую сторону треугольника на равные отрезки

Если в треугольнике равны два угла, то, по признаку равнобедренного треугольника, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны и являются боковыми сторонами. Третий угол, соответственно, является углом при вершине. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также медианой. А медиана по определению делит противолежащую сторону на два равных отрезка. Утверждение верно.

По результатам анализа было установлено, что утверждения А, В и Г верны, а утверждение Б неверно.

Ответ: Б.

7. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если высота треугольника делит сторону, к которой она проведена, на равные отрезки, то этот треугольник – равнобедренный

Б) если медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным

В) если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы

Г) если два угла треугольника равны, то биссектриса третьего угла делит противолежащую сторону треугольника на равные отрезки

8. Треугольник является равносторонним, если

А) его сторона в 3 раза меньше его периметра

Б) каждая его сторона в 3 раза меньше его периметра

В) две его высоты равны

Г) две его биссектрисы равны

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждое из предложенных утверждений и определить, какое из них является достаточным условием для того, чтобы треугольник был равносторонним. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны.

А) его сторона в 3 раза меньше его периметра

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а его периметр $P = a+b+c$. Условие гласит, что одна из сторон, например $a$, в 3 раза меньше периметра: $a = \frac{P}{3}$. Подставим выражение для периметра в это равенство: $a = \frac{a+b+c}{3}$. Умножив обе части на 3, получим $3a = a+b+c$, что равносильно $2a = b+c$. Это условие не гарантирует, что треугольник является равносторонним. Оно лишь говорит о том, что сумма длин двух сторон равна удвоенной длине третьей стороны. Рассмотрим контрпример: прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Его периметр $P = 3+4+5 = 12$. Одна из его сторон, равная 4, удовлетворяет условию: $4 = \frac{12}{3}$. Однако этот треугольник не является равносторонним, так как его стороны не равны. Следовательно, данное условие не является достаточным.

Ответ: Утверждение неверно.

Б) каждая его сторона в 3 раза меньше его периметра

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а его периметр $P = a+b+c$. Условие гласит, что каждая сторона в 3 раза меньше периметра: $a = \frac{P}{3}$
$b = \frac{P}{3}$
$c = \frac{P}{3}$
Из этих равенств следует, что $a = b = c$. Треугольник, у которого все стороны равны, по определению является равносторонним. Таким образом, данное условие является достаточным для того, чтобы треугольник был равносторонним.

Ответ: Утверждение верно.

В) две его высоты равны

Пусть в треугольнике две высоты, проведенные к сторонам $a$ и $b$, равны: $h_a = h_b$. Площадь треугольника $S$ можно выразить через сторону и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} a h_a$ и $S = \frac{1}{2} b h_b$. Приравнивая эти два выражения для площади, получаем: $\frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b$ Поскольку по условию $h_a = h_b$ и высоты не равны нулю, мы можем сократить обе части равенства на $\frac{1}{2}h_a$ (или $\frac{1}{2}h_b$): $a = b$. Это означает, что треугольник является равнобедренным. Однако это не гарантирует, что он равносторонний. Третья сторона $c$ не обязана быть равной $a$ и $b$. Например, треугольник со сторонами 5, 5, 8 является равнобедренным, и высоты, опущенные на равные стороны длиной 5, равны, но он не является равносторонним. Следовательно, данное условие не является достаточным.

Ответ: Утверждение неверно.

Г) две его биссектрисы равны

Пусть в треугольнике две биссектрисы равны: $l_a = l_b$. Согласно теореме Штейнера-Лемуса, если в треугольнике равны две биссектрисы, то он является равнобедренным. В частности, если биссектрисы, проведенные из вершин A и B, равны ($l_a = l_b$), то равны и стороны, противолежащие этим вершинам ($a=b$). Как и в предыдущем пункте, это доказывает, что треугольник является равнобедренным, но не обязательно равносторонним. Например, в равнобедренном треугольнике со сторонами 5, 5, 8 биссектрисы углов при основании равны, но треугольник не равносторонний. Следовательно, данное условие не является достаточным.

Ответ: Утверждение неверно.

8. Треугольник является равносторонним, если

А) его сторона в 3 раза меньше его периметра

Б) каждая его сторона в 3 раза меньше его периметра

В) две его высоты равны

Г) две его биссектрисы равны

9. Периметр равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) равен 16 см. Периметр треугольника $ABM$, где точка $M$ – середина отрезка $AC$, равен 12 см. Найдите медиану $BM$.

А) 4 см

Б) 6 см

В) 2 см

Г) 5 см

По условию задачи, дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB$ и $BC$ ($AB = BC$). Периметр этого треугольника, обозначим его $P_{ABC}$, равен 16 см.

Периметр треугольника $ABC$ вычисляется как сумма длин всех его сторон:
$P_{ABC} = AB + BC + AC$
Так как $AB = BC$, формулу можно записать в виде:
$P_{ABC} = 2 \cdot AB + AC$
Подставив известное значение периметра, получим первое уравнение:
$2 \cdot AB + AC = 16$

Точка $M$ — середина стороны $AC$. Это означает, что отрезок $BM$ является медианой треугольника, проведенной к основанию. Также из этого следует, что $AM = MC = \frac{1}{2} AC$, или $AC = 2 \cdot AM$.

Периметр треугольника $ABM$, обозначим его $P_{ABM}$, по условию равен 12 см. Он вычисляется по формуле:
$P_{ABM} = AB + AM + BM$
Подставив известное значение, получим второе уравнение:
$AB + AM + BM = 12$

Теперь решим систему из двух уравнений. Подставим выражение $AC = 2 \cdot AM$ в первое уравнение:
$2 \cdot AB + 2 \cdot AM = 16$
Разделим обе части этого уравнения на 2:
$AB + AM = 8$

Мы нашли, чему равна сумма длин сторон $AB$ и $AM$. Теперь подставим это значение во второе уравнение, которое описывает периметр треугольника $ABM$:
$(AB + AM) + BM = 12$
$8 + BM = 12$
Из этого уравнения легко найти длину искомой медианы $BM$:
$BM = 12 - 8$
$BM = 4$ см

Ответ: 4 см.

9. Периметр равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) равен 16 см. Периметр треугольника $ABM$, где $M$ – середина отрезка $AC$, равен 12 см. Найдите длину медианы $BM$.

А) 4 см Б) 6 см В) 2 см Г) 5 см

10. Каждая из точек $X$ и $Y$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Какое из следующих утверждений может быть неверным?

А) прямые $XY$ и $AB$ перпендикулярны

Б) $\angle XAY = \angle XBY$

В) $\angle AXB = \angle AYB$

Г) $\angle AXY = \angle BXY$

Проанализируем каждое утверждение на основе условия задачи.

По условию, каждая из точек X и Y равноудалена от концов отрезка AB. Это означает, что выполняются равенства: $XA = XB$ и $YA = YB$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек (в нашем случае A и B), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки (AB). Следовательно, обе точки X и Y лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Теперь рассмотрим каждое утверждение по отдельности.

А) прямые XY и AB перпендикулярны

Поскольку обе точки X и Y лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то прямая XY, проходящая через эти две точки (при условии, что $X \neq Y$), совпадает с этим серединным перпендикуляром. По определению, серединный перпендикуляр к отрезку перпендикулярен этому отрезку. Значит, прямая XY перпендикулярна прямой AB. Это утверждение всегда верно.

Б) ∠XAY = ∠XBY

Рассмотрим треугольники $\triangle XAY$ и $\triangle XBY$. У них:

• $XA = XB$ (по условию задачи);
• $YA = YB$ (по условию задачи);
• Сторона $XY$ — общая.

Следовательно, треугольники $\triangle XAY$ и $\triangle XBY$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle XAY = \angle XBY$. Таким образом, это утверждение всегда верно.

В) ∠AXB = ∠AYB

Рассмотрим треугольники $\triangle AXB$ и $\triangle AYB$. По условию $XA = XB$ и $YA = YB$, значит, оба треугольника являются равнобедренными с общим основанием AB. Однако равенство углов при вершине ($\angle AXB$ и $\angle AYB$) не является обязательным. Величина угла при вершине равнобедренного треугольника зависит от длины боковых сторон при фиксированном основании. Так как точки X и Y — это разные точки на серединном перпендикуляре, то в общем случае их расстояния до точек A и B будут различными ($XA \neq YA$). Если длины боковых сторон не равны, то и углы при вершине будут не равны.

Приведем контрпример. Пусть отрезок AB лежит на оси X, с концами в точках $A(-1, 0)$ и $B(1, 0)$. Тогда серединный перпендикуляр к AB — это ось Y. Выберем на оси Y две различные точки: $X(0, 1)$ и $Y(0, 2)$.

Проверим условия: $XA = \sqrt{(-1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$ и $XB = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$. Значит $XA=XB$.

$YA = \sqrt{(-1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{5}$ и $YB = \sqrt{(1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{5}$. Значит $YA=YB$.

Теперь найдем углы. В треугольнике $\triangle AXB$ по теореме косинусов:

$AB^2 = XA^2 + XB^2 - 2(XA)(XB)\cos(\angle AXB)$

$2^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2})(\sqrt{2})\cos(\angle AXB)$

$4 = 2 + 2 - 4\cos(\angle AXB) \implies \cos(\angle AXB) = 0 \implies \angle AXB = 90^\circ$.

В треугольнике $\triangle AYB$ по теореме косинусов:

$AB^2 = YA^2 + YB^2 - 2(YA)(YB)\cos(\angle AYB)$

$2^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(\sqrt{5})\cos(\angle AYB)$

$4 = 5 + 5 - 10\cos(\angle AYB) \implies 10\cos(\angle AYB) = 6 \implies \cos(\angle AYB) = 0.6$.

Так как $\cos(\angle AXB) \neq \cos(\angle AYB)$, то и $\angle AXB \neq \angle AYB$. Следовательно, данное утверждение может быть неверным.

Г) ∠AXY = ∠BXY

Как было доказано при анализе утверждения Б), треугольники $\triangle XAY$ и $\triangle XBY$ равны. Из равенства этих треугольников также следует равенство другой пары соответствующих углов: $\angle AXY = \angle BXY$. Таким образом, это утверждение всегда верно.

Итак, единственное утверждение, которое может быть неверным, — это утверждение В).

Ответ: В

10. Каждая из точек $X$ и $Y$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Какое из следующих утверждений неверно?

А) прямые $XY$ и $AB$ перпендикулярны

Б) $\angle XAY = \angle XBY$

В) $\angle AXB = \angle AYB$

Г) $\angle AXY = \angle BXY$

11. Точка M – середина отрезка AB. Точка X не принадлежит серединному перпендикуляру отрезка AB, если

А) $XA = XB$

Б) $XM = XB$

В) $XM \perp AB$

Г) $\angle XAM = \angle XBM$

Для ответа на этот вопрос необходимо понимать, что такое серединный перпендикуляр и какими свойствами он обладает.

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.

Основное свойство серединного перпендикуляра: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена (находится на одинаковом расстоянии) от концов отрезка.

В нашей задаче точка $M$ — середина отрезка $AB$. Это значит, что точка $X$ будет принадлежать серединному перпендикуляру к отрезку $AB$ тогда и только тогда, когда будет выполняться условие $XA = XB$.

Вопрос можно сформулировать так: какое из предложенных условий гарантирует, что точка $X$ не лежит на серединном перпендикуляре? Проанализируем все варианты.

А) $XA = XB$

Это равенство является ключевым свойством точек, лежащих на серединном перпендикуляре. Если $XA = XB$, то точка $X$ по определению принадлежит серединному перпендикуляру. Это прямо противоречит условию, что $X$ ему не принадлежит.

Б) $XM = XB$

Рассмотрим треугольник $\triangle XMB$. Если бы точка $X$ лежала на серединном перпендикуляре к $AB$, то прямая $XM$ была бы перпендикулярна $AB$, то есть $\angle XMB = 90^\circ$. В этом случае $\triangle XMB$ был бы прямоугольным, где $XB$ — гипотенуза, а $XM$ — катет. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета ($XB > XM$, если $X$ не совпадает с $M$). Условие $XM = XB$ противоречит тому, что $X$ лежит на серединном перпендикуляре. Следовательно, если $XM = XB$, то точка $X$ гарантированно не принадлежит серединному перпендикуляру. Это искомое условие.

В) $XM \perp AB$

По условию, $M$ — середина $AB$. Если прямая, проходящая через $X$ и $M$, перпендикулярна $AB$, то эта прямая по определению и есть серединный перпендикуляр. Значит, точка $X$ принадлежит серединному перпендикуляру, что противоречит условию.

Г) $\angle XAM = \angle XBM$

В треугольнике $\triangle XAB$ эти углы являются углами при основании $AB$. Если углы при основании треугольника равны, то треугольник является равнобедренным, а его боковые стороны равны: $XA = XB$. Как мы уже выяснили в пункте А), это означает, что точка $X$ принадлежит серединному перпендикуляру, что противоречит условию.

Таким образом, единственное условие, которое гарантирует, что точка $X$ не находится на серединном перпендикуляре отрезка $AB$, это условие Б).

Ответ: Б

11. Точка M – середина отрезка AB. Точка X не принадлежит серединному перпендикуляру отрезка AB, если

А) $XA = XB$

Б) $XM = XB$

В) $XM \perp AB$

Г) $\angle XAM = \angle XBM$