Номер 9, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 2. Треугольники - номер 9, страница 90.

9. Периметр равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) равен 16 см. Периметр треугольника $ABM$, где точка $M$ – середина отрезка $AC$, равен 12 см. Найдите медиану $BM$.

А) 4 см

Б) 6 см

В) 2 см

Г) 5 см

По условию задачи, дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB$ и $BC$ ($AB = BC$). Периметр этого треугольника, обозначим его $P_{ABC}$, равен 16 см.

Периметр треугольника $ABC$ вычисляется как сумма длин всех его сторон:
$P_{ABC} = AB + BC + AC$
Так как $AB = BC$, формулу можно записать в виде:
$P_{ABC} = 2 \cdot AB + AC$
Подставив известное значение периметра, получим первое уравнение:
$2 \cdot AB + AC = 16$

Точка $M$ — середина стороны $AC$. Это означает, что отрезок $BM$ является медианой треугольника, проведенной к основанию. Также из этого следует, что $AM = MC = \frac{1}{2} AC$, или $AC = 2 \cdot AM$.

Периметр треугольника $ABM$, обозначим его $P_{ABM}$, по условию равен 12 см. Он вычисляется по формуле:
$P_{ABM} = AB + AM + BM$
Подставив известное значение, получим второе уравнение:
$AB + AM + BM = 12$

Теперь решим систему из двух уравнений. Подставим выражение $AC = 2 \cdot AM$ в первое уравнение:
$2 \cdot AB + 2 \cdot AM = 16$
Разделим обе части этого уравнения на 2:
$AB + AM = 8$

Мы нашли, чему равна сумма длин сторон $AB$ и $AM$. Теперь подставим это значение во второе уравнение, которое описывает периметр треугольника $ABM$:
$(AB + AM) + BM = 12$
$8 + BM = 12$
Из этого уравнения легко найти длину искомой медианы $BM$:
$BM = 12 - 8$
$BM = 4$ см

Ответ: 4 см.

9. Периметр равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) равен 16 см. Периметр треугольника $ABM$, где $M$ – середина отрезка $AC$, равен 12 см. Найдите длину медианы $BM$.

А) 4 см Б) 6 см В) 2 см Г) 5 см