Номер 4, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 13. Параллельные прямые. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 4, страница 95.

4. Каково взаимное расположение двух прямых, перпендикулярных третьей прямой?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два случая: когда все три прямые лежат в одной плоскости (задача планиметрии) и когда они находятся в трехмерном пространстве (задача стереометрии).

1. Взаимное расположение на плоскости

В планиметрии существует теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
Пусть даны три прямые $a$, $b$ и $c$, лежащие в одной плоскости. По условию, прямая $a$ перпендикулярна прямой $c$ ($a \perp c$), и прямая $b$ перпендикулярна прямой $c$ ($b \perp c$).
Прямая $c$ является секущей для прямых $a$ и $b$. При пересечении секущей $c$ с прямыми $a$ и $b$ образуются соответственные углы. Так как $a \perp c$ и $b \perp c$, оба этих угла являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.
Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $a \parallel b$.
Частным случаем является совпадение прямых $a$ и $b$, что также является вариантом параллельности.

Ответ: На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу.

2. Взаимное расположение в пространстве

В стереометрии возможны три варианта взаимного расположения двух прямых ($a$ и $b$), перпендикулярных третьей прямой ($c$).

• Параллельные прямые. Этот случай возникает, когда прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости. Тогда, как и в планиметрии, они будут параллельны ($a \parallel b$). Например, две колонны здания перпендикулярны плоскости земли и параллельны друг другу.
• Пересекающиеся прямые. Прямые $a$ и $b$ могут пересекаться. Классический пример — оси координат в трехмерном пространстве. Ось $Ox$ и ось $Oy$ обе перпендикулярны оси $Oz$ и пересекаются в начале координат.
• Скрещивающиеся прямые. Прямые $a$ и $b$ могут не пересекаться и не быть параллельными. Например, пусть прямая $c$ — это вертикальная ось. Прямая $a$ лежит на "полу" (в плоскости $z=0$) и перпендикулярна $c$. Прямая $b$ лежит на "потолке" (в плоскости $z=h$) и тоже перпендикулярна $c$, но направлена под углом к прямой $a$. В этом случае $a$ и $b$ являются скрещивающимися.

Ответ: В пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

4. Какие отрезки называют параллельными?