Номер 10, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 2. Треугольники - номер 10, страница 90.

10. Каждая из точек $X$ и $Y$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Какое из следующих утверждений может быть неверным?

А) прямые $XY$ и $AB$ перпендикулярны

Б) $\angle XAY = \angle XBY$

В) $\angle AXB = \angle AYB$

Г) $\angle AXY = \angle BXY$

Проанализируем каждое утверждение на основе условия задачи.

По условию, каждая из точек X и Y равноудалена от концов отрезка AB. Это означает, что выполняются равенства: $XA = XB$ и $YA = YB$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек (в нашем случае A и B), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки (AB). Следовательно, обе точки X и Y лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Теперь рассмотрим каждое утверждение по отдельности.

А) прямые XY и AB перпендикулярны

Поскольку обе точки X и Y лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то прямая XY, проходящая через эти две точки (при условии, что $X \neq Y$), совпадает с этим серединным перпендикуляром. По определению, серединный перпендикуляр к отрезку перпендикулярен этому отрезку. Значит, прямая XY перпендикулярна прямой AB. Это утверждение всегда верно.

Б) ∠XAY = ∠XBY

Рассмотрим треугольники $\triangle XAY$ и $\triangle XBY$. У них:

• $XA = XB$ (по условию задачи);
• $YA = YB$ (по условию задачи);
• Сторона $XY$ — общая.

Следовательно, треугольники $\triangle XAY$ и $\triangle XBY$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle XAY = \angle XBY$. Таким образом, это утверждение всегда верно.

В) ∠AXB = ∠AYB

Рассмотрим треугольники $\triangle AXB$ и $\triangle AYB$. По условию $XA = XB$ и $YA = YB$, значит, оба треугольника являются равнобедренными с общим основанием AB. Однако равенство углов при вершине ($\angle AXB$ и $\angle AYB$) не является обязательным. Величина угла при вершине равнобедренного треугольника зависит от длины боковых сторон при фиксированном основании. Так как точки X и Y — это разные точки на серединном перпендикуляре, то в общем случае их расстояния до точек A и B будут различными ($XA \neq YA$). Если длины боковых сторон не равны, то и углы при вершине будут не равны.

Приведем контрпример. Пусть отрезок AB лежит на оси X, с концами в точках $A(-1, 0)$ и $B(1, 0)$. Тогда серединный перпендикуляр к AB — это ось Y. Выберем на оси Y две различные точки: $X(0, 1)$ и $Y(0, 2)$.

Проверим условия: $XA = \sqrt{(-1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$ и $XB = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$. Значит $XA=XB$.

$YA = \sqrt{(-1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{5}$ и $YB = \sqrt{(1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{5}$. Значит $YA=YB$.

Теперь найдем углы. В треугольнике $\triangle AXB$ по теореме косинусов:

$AB^2 = XA^2 + XB^2 - 2(XA)(XB)\cos(\angle AXB)$

$2^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2})(\sqrt{2})\cos(\angle AXB)$

$4 = 2 + 2 - 4\cos(\angle AXB) \implies \cos(\angle AXB) = 0 \implies \angle AXB = 90^\circ$.

В треугольнике $\triangle AYB$ по теореме косинусов:

$AB^2 = YA^2 + YB^2 - 2(YA)(YB)\cos(\angle AYB)$

$2^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(\sqrt{5})\cos(\angle AYB)$

$4 = 5 + 5 - 10\cos(\angle AYB) \implies 10\cos(\angle AYB) = 6 \implies \cos(\angle AYB) = 0.6$.

Так как $\cos(\angle AXB) \neq \cos(\angle AYB)$, то и $\angle AXB \neq \angle AYB$. Следовательно, данное утверждение может быть неверным.

Г) ∠AXY = ∠BXY

Как было доказано при анализе утверждения Б), треугольники $\triangle XAY$ и $\triangle XBY$ равны. Из равенства этих треугольников также следует равенство другой пары соответствующих углов: $\angle AXY = \angle BXY$. Таким образом, это утверждение всегда верно.

Итак, единственное утверждение, которое может быть неверным, — это утверждение В).

Ответ: В

10. Каждая из точек $X$ и $Y$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Какое из следующих утверждений неверно?

А) прямые $XY$ и $AB$ перпендикулярны

Б) $\angle XAY = \angle XBY$

В) $\angle AXB = \angle AYB$

Г) $\angle AXY = \angle BXY$