Номер 8, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 2. Треугольники - номер 8, страница 90.

8. Треугольник является равносторонним, если

А) его сторона в 3 раза меньше его периметра

Б) каждая его сторона в 3 раза меньше его периметра

В) две его высоты равны

Г) две его биссектрисы равны

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждое из предложенных утверждений и определить, какое из них является достаточным условием для того, чтобы треугольник был равносторонним. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны.

А) его сторона в 3 раза меньше его периметра

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а его периметр $P = a+b+c$. Условие гласит, что одна из сторон, например $a$, в 3 раза меньше периметра: $a = \frac{P}{3}$. Подставим выражение для периметра в это равенство: $a = \frac{a+b+c}{3}$. Умножив обе части на 3, получим $3a = a+b+c$, что равносильно $2a = b+c$. Это условие не гарантирует, что треугольник является равносторонним. Оно лишь говорит о том, что сумма длин двух сторон равна удвоенной длине третьей стороны. Рассмотрим контрпример: прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Его периметр $P = 3+4+5 = 12$. Одна из его сторон, равная 4, удовлетворяет условию: $4 = \frac{12}{3}$. Однако этот треугольник не является равносторонним, так как его стороны не равны. Следовательно, данное условие не является достаточным.

Ответ: Утверждение неверно.

Б) каждая его сторона в 3 раза меньше его периметра

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а его периметр $P = a+b+c$. Условие гласит, что каждая сторона в 3 раза меньше периметра: $a = \frac{P}{3}$
$b = \frac{P}{3}$
$c = \frac{P}{3}$
Из этих равенств следует, что $a = b = c$. Треугольник, у которого все стороны равны, по определению является равносторонним. Таким образом, данное условие является достаточным для того, чтобы треугольник был равносторонним.

Ответ: Утверждение верно.

В) две его высоты равны

Пусть в треугольнике две высоты, проведенные к сторонам $a$ и $b$, равны: $h_a = h_b$. Площадь треугольника $S$ можно выразить через сторону и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} a h_a$ и $S = \frac{1}{2} b h_b$. Приравнивая эти два выражения для площади, получаем: $\frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b$ Поскольку по условию $h_a = h_b$ и высоты не равны нулю, мы можем сократить обе части равенства на $\frac{1}{2}h_a$ (или $\frac{1}{2}h_b$): $a = b$. Это означает, что треугольник является равнобедренным. Однако это не гарантирует, что он равносторонний. Третья сторона $c$ не обязана быть равной $a$ и $b$. Например, треугольник со сторонами 5, 5, 8 является равнобедренным, и высоты, опущенные на равные стороны длиной 5, равны, но он не является равносторонним. Следовательно, данное условие не является достаточным.

Ответ: Утверждение неверно.

Г) две его биссектрисы равны

Пусть в треугольнике две биссектрисы равны: $l_a = l_b$. Согласно теореме Штейнера-Лемуса, если в треугольнике равны две биссектрисы, то он является равнобедренным. В частности, если биссектрисы, проведенные из вершин A и B, равны ($l_a = l_b$), то равны и стороны, противолежащие этим вершинам ($a=b$). Как и в предыдущем пункте, это доказывает, что треугольник является равнобедренным, но не обязательно равносторонним. Например, в равнобедренном треугольнике со сторонами 5, 5, 8 биссектрисы углов при основании равны, но треугольник не равносторонний. Следовательно, данное условие не является достаточным.

Ответ: Утверждение неверно.

8. Треугольник является равносторонним, если

А) его сторона в 3 раза меньше его периметра

Б) каждая его сторона в 3 раза меньше его периметра

В) две его высоты равны

Г) две его биссектрисы равны