Номер 7, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 2. Треугольники - номер 7, страница 90.

7. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если высота треугольника делит сторону, к которой она проведена, на равные отрезки, то этот треугольник равнобедренный

Б) если медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным

В) если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы

Г) если два угла треугольника равны, то биссектриса третьего угла делит противолежащую сторону треугольника на равные отрезки

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, проанализируем каждое из них по отдельности.

А) если высота треугольника делит сторону, к которой она проведена, на равные отрезки, то этот треугольник равнобедренный

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ к стороне $AC$. По условию, $AH = HC$. Поскольку $BH$ является высотой, она перпендикулярна $AC$, следовательно, углы $\angle BHA$ и $\angle BHC$ — прямые. Рассмотрим два прямоугольных треугольника $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. У них общий катет $BH$ и равные катеты $AH$ и $HC$. По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, $\triangle ABH \cong \triangle CBH$. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$. Треугольник $ABC$ имеет две равные стороны, значит, он равнобедренный. Утверждение верно.

Б) если медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным

Данное утверждение неверно. Для его опровержения достаточно привести контрпример. Возьмём равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны ($AC = BC$), а основание $AB$ им не равно. Такой треугольник по определению является равнобедренным. Проведём из вершины $A$ (угла при основании) медиану $AM$ к стороне $BC$ и биссектрису $AL$ угла $\angle BAC$.

• Так как $AM$ — медиана, она делит сторону $BC$ пополам: $BM = MC$.
• По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$.

Поскольку в нашем треугольнике $AB \neq AC$, то и $\frac{AB}{AC} \neq 1$, что означает $BL \neq LC$. Так как $M$ — середина $BC$, а точка $L$ не является серединой $BC$, то точки $M$ и $L$ не совпадают. Следовательно, медиана $AM$ и биссектриса $AL$ не совпадают. Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник, в котором медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, не совпадают. Это противоречит утверждению.

В) если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы

В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны. Важным свойством такого треугольника является то, что высота, медиана и биссектриса, проведённые из любой его вершины, совпадают. Кроме того, все три высоты в равностороннем треугольнике равны между собой, как и все три биссектрисы. Следовательно, длина любой высоты будет равна длине любой биссектрисы. Утверждение верно.

Г) если два угла треугольника равны, то биссектриса третьего угла делит противолежащую сторону треугольника на равные отрезки

Если в треугольнике равны два угла, то, по признаку равнобедренного треугольника, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны и являются боковыми сторонами. Третий угол, соответственно, является углом при вершине. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также медианой. А медиана по определению делит противолежащую сторону на два равных отрезка. Утверждение верно.

По результатам анализа было установлено, что утверждения А, В и Г верны, а утверждение Б неверно.

Ответ: Б.

7. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если высота треугольника делит сторону, к которой она проведена, на равные отрезки, то этот треугольник – равнобедренный

Б) если медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным

В) если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы

Г) если два угла треугольника равны, то биссектриса третьего угла делит противолежащую сторону треугольника на равные отрезки