Номер 312, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 312, страница 88.

Рис. 215

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

312. Длины сторон прямоугольника ABCD равны 4 см и 3 см. Найдите сумму длин всех отрезков, расположенных внутри прямоугольника (рис. 215).

Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AD = 4$ см и $AB = 3$ см. Все отрезки, расположенные внутри прямоугольника, можно разделить на две группы: горизонтальные и вертикальные. Чтобы найти общую сумму их длин, найдем сумму длин отрезков в каждой группе по отдельности.

Рассмотрим все горизонтальные отрезки внутри прямоугольника. Если мысленно переместить (спроецировать) их все вертикально на сторону $AD$, то они в совокупности покроют всю сторону $AD$ без пропусков и наложений. Следовательно, сумма длин всех внутренних горизонтальных отрезков равна длине стороны $AD$.

Сумма длин горизонтальных отрезков = $AD = 4$ см.

Аналогично рассмотрим все вертикальные отрезки. Если мысленно переместить (спроецировать) их все горизонтально на сторону $AB$, то они в совокупности покроют всю сторону $AB$. Таким образом, сумма длин всех внутренних вертикальных отрезков равна длине стороны $AB$.

Сумма длин вертикальных отрезков = $AB = 3$ см.

Общая сумма длин всех отрезков внутри прямоугольника равна сумме длин всех горизонтальных и всех вертикальных отрезков:

Общая сумма = $4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Ответ: 7 см.

312. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle BCD$ – смежный с $\angle ACB$, $CM$ – биссектриса угла $BCD$. Докажите, что $AB \parallel CM$.