Номер 307, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 307, страница 88.

307. Сформулируйте и докажите признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне.

Формулировка признака

Если боковая сторона и медиана, проведённая к боковой стороне, одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне, другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два равнобедренных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, в которых $AB=BC$ и $A_1B_1=B_1C_1$. Пусть $AM$ — медиана, проведённая к боковой стороне $BC$ в $\triangle ABC$, а $A_1M_1$ — медиана, проведённая к боковой стороне $B_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.

Согласно условию, нам дано:
1) Боковые стороны равны: $AB = A_1B_1$.
2) Медианы, проведённые к боковым сторонам, равны: $AM = A_1M_1$.

Необходимо доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ход доказательства:

1. Так как $AM$ является медианой к стороне $BC$, по определению медианы точка $M$ — середина отрезка $BC$. Следовательно, $BM = \frac{1}{2}BC$.

2. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Тогда мы можем выразить $BM$ через сторону $AB$: $BM = \frac{1}{2}AB$.

3. Проведём аналогичные рассуждения для треугольника $A_1B_1C_1$. Так как $A_1M_1$ — медиана к стороне $B_1C_1$, то $B_1M_1 = \frac{1}{2}B_1C_1$. Поскольку $\triangle A_1B_1C_1$ равнобедренный, $A_1B_1 = B_1C_1$. Следовательно, $B_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.

4. Теперь сравним отрезки $BM$ и $B_1M_1$. Из условия известно, что $AB = A_1B_1$. Из пунктов 2 и 3 мы получили, что $BM = \frac{1}{2}AB$ и $B_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$. Отсюда следует, что $BM = B_1M_1$.

5. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $A_1B_1M_1$. У них:
- $AB = A_1B_1$ (по условию);
- $AM = A_1M_1$ (по условию);
- $BM = B_1M_1$ (доказано в п. 4).
Таким образом, $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

6. Из равенства треугольников $ABM$ и $A_1B_1M_1$ следует равенство их соответственных углов. В частности, $\angle B = \angle B_1$.

7. Наконец, рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. У них:
- $AB = A_1B_1$ (по условию);
- $BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$ (свойство равнобедренных треугольников), поэтому $BC = B_1C_1$;
- $\angle B = \angle B_1$ (доказано в п. 6).
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Теорема доказана.

Ответ: Если боковая сторона и медиана, проведённая к боковой стороне, одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне, другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

307. На рисунке 214 укажите все пары параллельных прямых.

Рис. 214

Прямые: $a$, $b$, $c$, $d$, $m$. Секущая: $l$. Углы: $94^\circ$, $76^\circ$, $114^\circ$, $86^\circ$, $104^\circ$.

Рис. 215

Прямые: $a$, $b$, $c$. Секущая: $l$. Углы: $1$, $2$, $3$.