Номер 308, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 308, страница 88.

308. Сформулируйте и докажите признак равенства треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углу между медианой и этой стороной.

Формулировка признака

Если сторона треугольника, медиана, проведённая к этой стороне, и угол между этой медианой и стороной соответственно равны стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углу между медианой и стороной другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть $BM$ – медиана треугольника $\triangle ABC$, проведённая к стороне $AC$, а $B_1M_1$ – медиана треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, проведённая к стороне $A_1C_1$.

По условию теоремы нам дано: $AC = A_1C_1$, $BM = B_1M_1$ и один из углов между медианой и стороной, например, $\angle BMC = \angle B_1M_1C_1$. Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

1. Сначала рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle B_1M_1C_1$. В этих треугольниках сторона $BM$ равна стороне $B_1M_1$ и угол $\angle BMC$ равен углу $\angle B_1M_1C_1$ по условию.

2. Поскольку $BM$ и $B_1M_1$ – медианы, точки $M$ и $M_1$ являются серединами сторон $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Это означает, что $MC = \frac{1}{2}AC$ и $M_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$. Так как по условию $AC = A_1C_1$, то равны и их половины, то есть $MC = M_1C_1$.

3. Таким образом, в треугольниках $\triangle BMC$ и $\triangle B_1M_1C_1$ две стороны и угол между ними ($BM$ и $MC$, угол $\angle BMC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle B_1M_1C_1$ ($B_1M_1$ и $M_1C_1$, угол $\angle B_1M_1C_1$). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует, что $\triangle BMC = \triangle B_1M_1C_1$.

4. Из равенства треугольников $\triangle BMC$ и $\triangle B_1M_1C_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, сторона $BC$ равна стороне $B_1C_1$, и угол $\angle C$ равен углу $\angle C_1$.

5. Теперь вернемся к исходным треугольникам $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что сторона $BC = B_1C_1$ и угол $\angle C = \angle C_1$. По условию задачи, сторона $AC = A_1C_1$.

6. Следовательно, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ сторона $AC$ равна $A_1C_1$, сторона $BC$ равна $B_1C_1$, и угол $\angle C$ между этими сторонами равен углу $\angle C_1$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Замечание: Если бы в условии был дан другой угол между медианой и стороной, $\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$, то доказательство было бы аналогичным. Так как углы $\angle AMB$ и $\angle BMC$ – смежные, их сумма равна $180^\circ$. Из равенства $\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$ следует равенство $\angle BMC = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - \angle A_1M_1B_1 = \angle B_1M_1C_1$, и дальнейшие рассуждения не меняются.

Ответ: Признак сформулирован и доказан.

Рис. 214

Рис. 215

308. На рисунке 215 укажите параллельные прямые, если $\angle 1 = 53^\circ$, $\angle 2 = 128^\circ$, $\angle 3 = 127^\circ$.

Рис. 216