Номер 303, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 303, страница 88.

303. Докажите, используя метод от противного, что если ни одна из высот треугольника не совпадает с биссектрисой, проведённой из этой же вершины, то треугольник не является равнобедренным.

Для доказательства используем метод от противного. Утверждение, которое нужно доказать, состоит из двух частей: условия ("ни одна из высот треугольника не совпадает с биссектрисой, проведённой из этой же вершины") и заключения ("треугольник не является равнобедренным").

Метод от противного заключается в том, чтобы предположить, что заключение неверно при истинности условия, и прийти к противоречию. Итак, предположим, что треугольник, у которого ни одна из высот не совпадает с биссектрисой из той же вершины, всё-таки является равнобедренным.

Пусть наш треугольник $ABC$ — равнобедренный. Это означает, что у него есть две равные стороны. Допустим, $AB = BC$. В этом случае $AC$ является основанием треугольника.

Проведём из вершины $B$ к основанию $AC$ биссектрису $BL$. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой.

Таким образом, отрезок $BL$ является одновременно и биссектрисой угла $\angle B$, и высотой, опущенной на сторону $AC$.

Из этого следует, что в нашем треугольнике $ABC$ нашлась высота ($BL$), которая совпадает с биссектрисой ($BL$), проведённой из той же вершины ($B$).

Это наблюдение напрямую противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что "ни одна из высот треугольника не совпадает с биссектрисой, проведённой из этой же вершины".

Поскольку наше предположение о том, что треугольник является равнобедренным, привело к противоречию с условием задачи, это предположение неверно. Следовательно, верно обратное: треугольник не является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

303. На рисунке 210 укажите углы:

1) односторонние при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AB$;

2) односторонние при прямых $CE$ и $CD$ и секущей $AD$;

3) накрест лежащие при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CE$;

4) соответственные при прямых $CE$ и $CD$ и секущей $AD$;

5) односторонние при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CE$.

Рис. 210