Номер 309, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 309, страница 88.

309. Докажите признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника.

Сформулируем доказываемый признак: если в двух треугольниках медиана и углы, на которые она разбивает угол, из вершины которого она проведена, соответственно равны, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Рассмотрим два треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Пусть $ BM $ и $ B_1M_1 $ — их медианы, проведенные из вершин $ B $ и $ B_1 $ соответственно. По условию, $ BM = B_1M_1 $, $ \angle ABM = \angle A_1B_1M_1 $ и $ \angle CBM = \angle C_1B_1M_1 $. Также, по определению медианы, $ M $ — середина $ AC $ (то есть $ AM = MC $), а $ M_1 $ — середина $ A_1C_1 $ (то есть $ A_1M_1 = M_1C_1 $).

Для доказательства выполним дополнительное построение. На продолжении медианы $ BM $ за точку $ M $ отложим отрезок $ MD $, равный $ BM $. Аналогично, на продолжении медианы $ B_1M_1 $ за точку $ M_1 $ отложим отрезок $ M_1D_1 $, равный $ B_1M_1 $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AMB $ и $ \triangle CMD $. У них $ AM = MC $ по определению медианы, $ BM = MD $ по построению, а углы $ \angle AMB $ и $ \angle CMD $ равны как вертикальные. Следовательно, $ \triangle AMB \cong \triangle CMD $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из этого равенства следует, что $ AB = CD $ и $ \angle ABM = \angle CDM $ (или $ \angle BDC $).

Точно так же доказывается равенство треугольников $ \triangle A_1M_1B_1 $ и $ \triangle C_1M_1D_1 $. У них $ A_1M_1 = M_1C_1 $, $ B_1M_1 = M_1D_1 $, $ \angle A_1M_1B_1 = \angle C_1M_1D_1 $. Значит, $ \triangle A_1M_1B_1 \cong \triangle C_1M_1D_1 $, откуда $ A_1B_1 = C_1D_1 $ и $ \angle A_1B_1M_1 = \angle B_1D_1C_1 $.

Теперь сравним вновь образованные треугольники $ \triangle BCD $ и $ \triangle B_1C_1D_1 $. По построению $ BD = BM + MD = 2BM $ и $ B_1D_1 = B_1M_1 + M_1D_1 = 2B_1M_1 $. Так как по условию $ BM = B_1M_1 $, то $ BD = B_1D_1 $.

Рассмотрим углы этих треугольников. Угол $ \angle CBD $ совпадает с углом $ \angle CBM $, а $ \angle C_1B_1D_1 $ совпадает с $ \angle C_1B_1M_1 $. По условию $ \angle CBM = \angle C_1B_1M_1 $, следовательно, $ \angle CBD = \angle C_1B_1D_1 $.

Далее, угол $ \angle BDC = \angle ABM $ (из $ \triangle AMB \cong \triangle CMD $). Угол $ \angle B_1D_1C_1 = \angle A_1B_1M_1 $ (из $ \triangle A_1M_1B_1 \cong \triangle C_1M_1D_1 $). По условию $ \angle ABM = \angle A_1B_1M_1 $, значит, $ \angle BDC = \angle B_1D_1C_1 $.

Таким образом, треугольники $ \triangle BCD $ и $ \triangle B_1C_1D_1 $ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как $ BD = B_1D_1 $, $ \angle CBD = \angle C_1B_1D_1 $ и $ \angle BDC = \angle B_1D_1C_1 $.

Из равенства $ \triangle BCD \cong \triangle B_1C_1D_1 $ следует равенство их соответствующих сторон: $ BC = B_1C_1 $ и $ CD = C_1D_1 $. Поскольку мы ранее установили, что $ AB = CD $ и $ A_1B_1 = C_1D_1 $, то из $ CD = C_1D_1 $ следует, что $ AB = A_1B_1 $.

Наконец, вернемся к исходным треугольникам $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы доказали, что $ AB = A_1B_1 $ и $ BC = B_1C_1 $. Найдем угол между этими сторонами. Угол $ \angle ABC = \angle ABM + \angle CBM $. Угол $ \angle A_1B_1C_1 = \angle A_1B_1M_1 + \angle C_1B_1M_1 $. По условию $ \angle ABM = \angle A_1B_1M_1 $ и $ \angle CBM = \angle C_1B_1M_1 $, поэтому $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $.

Таким образом, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Признак доказан.

Ответ: Признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника, доказан.

309. На рисунке 216 $AB = BC, CD = DK$. Докажите, что $AB \parallel DK$.

Рис. 217