Номер 311, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 311, страница 88.

311. Угол между биссектрисой одного из смежных углов и их общей стороной составляет $\frac{1}{3}$ второго из смежных углов. Найдите градусные меры этих смежных углов.

Пусть даны два смежных угла, обозначим их градусные меры как $ \alpha $ и $ \beta $.

По свойству смежных углов, их сумма составляет $180^\circ$. Таким образом, мы имеем первое уравнение:
$ \alpha + \beta = 180^\circ $

Рассмотрим биссектрису одного из углов, например, угла $ \alpha $. Биссектриса делит угол на два равных угла. Угол между этой биссектрисой и общей стороной смежных углов будет равен половине угла $ \alpha $, то есть $ \frac{\alpha}{2} $.

Согласно условию задачи, этот угол составляет $ \frac{1}{3} $ второго смежного угла, то есть угла $ \beta $. Это дает нам второе уравнение:
$ \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}\beta $

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{3} \end{cases} $

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $ \alpha $ через $ \beta $:
$ \alpha = \frac{2\beta}{3} $

Подставим полученное выражение для $ \alpha $ в первое уравнение:
$ \frac{2\beta}{3} + \beta = 180^\circ $

Приведем слагаемые к общему знаменателю и выполним сложение:
$ \frac{2\beta}{3} + \frac{3\beta}{3} = 180^\circ $
$ \frac{5\beta}{3} = 180^\circ $

Теперь найдем значение $ \beta $:
$ 5\beta = 180^\circ \cdot 3 $
$ 5\beta = 540^\circ $
$ \beta = \frac{540^\circ}{5} $
$ \beta = 108^\circ $

Зная $ \beta $, найдем $ \alpha $ из первого уравнения:
$ \alpha = 180^\circ - \beta $
$ \alpha = 180^\circ - 108^\circ $
$ \alpha = 72^\circ $

Таким образом, градусные меры смежных углов равны $72^\circ$ и $108^\circ$.

Проверим результат. Угол между биссектрисой угла $72^\circ$ и общей стороной равен $ \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ $. Одна треть от второго угла $108^\circ$ равна $ \frac{108^\circ}{3} = 36^\circ $. Условие $36^\circ = 36^\circ$ выполняется, значит, решение верное.

Ответ: Градусные меры этих смежных углов равны $72^\circ$ и $108^\circ$.

311. На рисунке 218 $\angle ACB = \angle ACD, AD = CD$. Докажите, что $BC \parallel AD$.

Рис. 216

Рис. 217

Рис. 218