Номер 11, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 2. Треугольники - номер 11, страница 90.

11. Точка M – середина отрезка AB. Точка X не принадлежит серединному перпендикуляру отрезка AB, если

А) $XA = XB$

Б) $XM = XB$

В) $XM \perp AB$

Г) $\angle XAM = \angle XBM$

Для ответа на этот вопрос необходимо понимать, что такое серединный перпендикуляр и какими свойствами он обладает.

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.

Основное свойство серединного перпендикуляра: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена (находится на одинаковом расстоянии) от концов отрезка.

В нашей задаче точка $M$ — середина отрезка $AB$. Это значит, что точка $X$ будет принадлежать серединному перпендикуляру к отрезку $AB$ тогда и только тогда, когда будет выполняться условие $XA = XB$.

Вопрос можно сформулировать так: какое из предложенных условий гарантирует, что точка $X$ не лежит на серединном перпендикуляре? Проанализируем все варианты.

А) $XA = XB$

Это равенство является ключевым свойством точек, лежащих на серединном перпендикуляре. Если $XA = XB$, то точка $X$ по определению принадлежит серединному перпендикуляру. Это прямо противоречит условию, что $X$ ему не принадлежит.

Б) $XM = XB$

Рассмотрим треугольник $\triangle XMB$. Если бы точка $X$ лежала на серединном перпендикуляре к $AB$, то прямая $XM$ была бы перпендикулярна $AB$, то есть $\angle XMB = 90^\circ$. В этом случае $\triangle XMB$ был бы прямоугольным, где $XB$ — гипотенуза, а $XM$ — катет. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета ($XB > XM$, если $X$ не совпадает с $M$). Условие $XM = XB$ противоречит тому, что $X$ лежит на серединном перпендикуляре. Следовательно, если $XM = XB$, то точка $X$ гарантированно не принадлежит серединному перпендикуляру. Это искомое условие.

В) $XM \perp AB$

По условию, $M$ — середина $AB$. Если прямая, проходящая через $X$ и $M$, перпендикулярна $AB$, то эта прямая по определению и есть серединный перпендикуляр. Значит, точка $X$ принадлежит серединному перпендикуляру, что противоречит условию.

Г) $\angle XAM = \angle XBM$

В треугольнике $\triangle XAB$ эти углы являются углами при основании $AB$. Если углы при основании треугольника равны, то треугольник является равнобедренным, а его боковые стороны равны: $XA = XB$. Как мы уже выяснили в пункте А), это означает, что точка $X$ принадлежит серединному перпендикуляру, что противоречит условию.

Таким образом, единственное условие, которое гарантирует, что точка $X$ не находится на серединном перпендикуляре отрезка $AB$, это условие Б).

Ответ: Б

11. Точка M – середина отрезка AB. Точка X не принадлежит серединному перпендикуляру отрезка AB, если

А) $XA = XB$

Б) $XM = XB$

В) $XM \perp AB$

Г) $\angle XAM = \angle XBM$