Номер 6, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 13. Параллельные прямые. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 6, страница 95.

6. Каково взаимное расположение двух прямых, параллельных третьей прямой?

Это утверждение является фундаментальной теоремой евклидовой геометрии, известной как свойство транзитивности параллельности прямых. Она гласит: две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Рассмотрим это утверждение более подробно. Пусть у нас есть три прямые, которые мы обозначим как $a$, $b$ и $c$.

Из условия задачи нам известно, что прямая $a$ параллельна прямой $c$ (что записывается как $a \parallel c$), и прямая $b$ также параллельна прямой $c$ ($b \parallel c$). Необходимо определить, как расположены прямые $a$ и $b$ относительно друг друга.

Для доказательства можно использовать метод от противного, который особенно нагляден для случая прямых на плоскости.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Если две прямые на плоскости не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке. Назовем эту точку $M$.

В таком случае получается, что через точку $M$ проходят две различные прямые ($a$ и $b$), и обе они по условию параллельны третьей прямой $c$.

Это напрямую противоречит аксиоме о параллельных прямых (известной также как пятый постулат Евклида), которая утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Поскольку мы пришли к противоречию, наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, было неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ должны быть параллельны.

Этот же вывод справедлив и для прямых в трехмерном пространстве. Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они также параллельны друг другу. Они не могут пересекаться (доказательство аналогично случаю на плоскости) и не могут быть скрещивающимися.

Таким образом, взаимное расположение двух прямых, параллельных третьей прямой, — это параллельность.

Ответ: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

6. Сформулируйте аксиому параллельности прямых.