Номер 317, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 13. Параллельные прямые. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 317, страница 96.

317. Прямая $a$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$. Может ли прямая $a$ быть параллельной стороне $AC$? стороне $BC$?

По определению, треугольник $ABC$ — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек $A$, $B$, $C$, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков $AB$, $BC$ и $AC$, соединяющих эти точки. Прямые, содержащие стороны треугольника, попарно пересекаются в его вершинах. В частности, прямые $AB$ и $AC$ пересекаются в точке $A$, а прямые $AB$ и $BC$ — в точке $B$. Пересекающиеся прямые не могут быть параллельными.

По условию задачи, прямая $a$ параллельна стороне $AB$. Запишем это как $a \parallel AB$.

Может ли прямая a быть параллельной стороне AC?

Предположим, что прямая $a$ также параллельна стороне $AC$. В этом случае мы имеем два одновременных условия:
1) $a \parallel AB$ (по условию);
2) $a \parallel AC$ (наше предположение).

В евклидовой геометрии существует аксиома о параллельных прямых, из которой следует свойство транзитивности параллельности: если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Исходя из этого свойства, из наших двух условий следует, что $AB \parallel AC$.

Однако прямые $AB$ и $AC$ являются сторонами одного треугольника и пересекаются в вершине $A$. По определению, параллельные прямые не пересекаются. Таким образом, мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Нет, не может.

Может ли прямая a быть параллельной стороне BC?

Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Предположим, что прямая $a$ параллельна стороне $BC$. Тогда мы имеем:
1) $a \parallel AB$ (по условию);
2) $a \parallel BC$ (наше предположение).

Из свойства транзитивности параллельности прямых следует, что $AB \parallel BC$.

Но прямые $AB$ и $BC$ — это стороны треугольника $ABC$, которые имеют общую точку $B$, то есть пересекаются. Это противоречит определению параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: Нет, не может.

317. Угол $ABC$ равен $60^\circ$, а угол $BCD$ – $120^\circ$. Можно ли утверждать, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны?