Номер 319, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 13. Параллельные прямые. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 319, страница 96.

319. Можно ли утверждать, что существует только один луч, параллельный данной прямой, началом которого является данная точка?

Нет, данное утверждение неверно.

Для ответа на этот вопрос рассмотрим два возможных случая расположения данной точки относительно данной прямой.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$.

1. Точка $M$ не лежит на прямой $a$.

Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Проведем через точку $M$ прямую $b$, параллельную прямой $a$.

Любой луч, который начинается в точке $M$ и параллелен прямой $a$, должен целиком лежать на прямой $b$. Точка $M$ является точкой на прямой $b$ и делит ее на два луча, выходящих из этой точки в противоположных направлениях. Оба этих луча начинаются в точке $M$ и лежат на прямой $b$. Поскольку прямая $b$ параллельна прямой $a$, то и оба луча, на ней лежащие, параллельны прямой $a$.

Таким образом, в этом случае существует не один, а два луча, удовлетворяющих условию.

2. Точка $M$ лежит на прямой $a$.

В этом случае лучи с началом в точке $M$ также лежат на прямой $a$. По определению, параллельные прямые не имеют общих точек. Если следовать этому строго, то луч, лежащий на прямой $a$, не может быть ей параллелен. Если же считать, что прямая параллельна самой себе, то из точки $M$ на прямой $a$ выходят два луча в противоположных направлениях, и оба они будут "параллельны" исходной прямой.

В обоих рассмотренных случаях утверждение о существовании только одного луча не выполняется. В наиболее общем случае (точка вне прямой) таких лучей два.

Ответ: Нет, нельзя. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести два луча, параллельных этой прямой. Они являются двумя дополнительными друг к другу лучами, лежащими на одной прямой, параллельной данной.

319. Четыре угла, образованные при пересечении прямых $a$ и $b$ прямой $c$, равны по $40^\circ$, а любой из остальных четырёх углов $-$ $140^\circ$. Можно ли утверждать, что прямые $a$ и $b$ параллельны?