Номер 326, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 13. Параллельные прямые. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 326, страница 97.

326. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$, то прямые $a$ и $b$ параллельны.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не являются параллельными. Это означает, что они могут либо пересекаться, либо быть скрещивающимися. Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Так как $a$ и $b$ — различные прямые (если бы они совпадали, то по определению были бы параллельны), на прямой $a$ существует точка $N$, не принадлежащая прямой $b$ (то есть, $N \ne M$).
Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку $N$, не лежащую на прямой $b$, можно провести прямую $c$, параллельную прямой $b$.
Рассмотрим свойства построенной прямой $c$:
1. Прямая $c$ пересекает прямую $a$, так как по построению проходит через точку $N$, которая принадлежит прямой $a$.
2. Прямая $c$ не пересекает прямую $b$, так как она параллельна ей ($c \parallel b$) и не совпадает с ней (поскольку точка $N$ лежит на $c$, но не на $b$).
Таким образом, мы нашли прямую $c$, которая пересекает прямую $a$, но не пересекает прямую $b$. Это противоречит условию задачи, согласно которому *любая* прямая, пересекающая $a$, должна пересекать и $b$. Следовательно, наше предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, неверно.

Случай 2: Прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися.

Если прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, то они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Выберем на прямой $a$ произвольную точку $K$. Так как прямые $a$ и $b$ не пересекаются, точка $K$ не лежит на прямой $b$.
Проведем через точку $K$ прямую $d$, параллельную прямой $b$ ($d \parallel b$). Существование и единственность такой прямой гарантируется соответствующей аксиомой.
Рассмотрим свойства прямой $d$:
1. Прямая $d$ пересекает прямую $a$ в точке $K$.
2. Прямая $d$ не пересекает прямую $b$. Допустим, это не так, и прямые $d$ и $b$ пересекаются. Поскольку по построению они параллельны, их пересечение возможно только в случае их совпадения ($d=b$). Но если $d=b$, то прямая $b$ должна проходить через точку $K$. А точка $K$ лежит на прямой $a$. В этом случае прямые $a$ и $b$ пересекались бы в точке $K$, что противоречит нашему предположению о том, что они скрещивающиеся. Значит, $d$ и $b$ — это две различные параллельные прямые, и они не пересекаются.
Мы снова нашли прямую ($d$), которая пересекает прямую $a$, но не пересекает прямую $b$, что противоречит условию задачи. Следовательно, предположение о том, что прямые $a$ и $b$ скрещиваются, также неверно.

Поскольку оба возможных случая для непараллельных прямых (пересечение и скрещивание) приводят к противоречию с условием задачи, наше исходное предположение неверно. Следовательно, прямые $a$ и $b$ могут быть только параллельными.
Ответ: Что и требовалось доказать.

326. На рисунке 230 найдите угол $1$.

Рис. 230

a

b

c

d

$64^\circ$

$108^\circ$

$116^\circ$

$1$