Номер 321, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 13. Параллельные прямые. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 321, страница 96.

321. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Можно ли провести такую прямую $c$, которая была бы параллельна прямой $a$ и пересекала прямую $b$?

Да, такую прямую провести можно. Это является следствием аксиомы параллельности в евклидовой геометрии. Существование такой прямой можно доказать несколькими способами.

1. Конструктивное доказательство (построение)

По условию, прямые $a$ и $b$ пересекаются. Обозначим их точку пересечения как $M$.

Согласно аксиоме о параллельных прямых, через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Выберем на прямой $b$ любую точку $P$, которая не совпадает с точкой $M$. Поскольку $P \neq M$, точка $P$ не лежит на прямой $a$.

Теперь через точку $P$ проведем прямую $c$, параллельную прямой $a$. По аксиоме, такая прямая существует и она единственна.

Проверим, удовлетворяет ли построенная прямая $c$ условиям задачи:
1. $c \parallel a$ (по построению).
2. Прямая $c$ пересекает прямую $b$, так как они имеют общую точку $P$ (по построению).

Таким образом, мы не только доказали, что такая прямая существует, но и показали, как ее можно построить.

2. Доказательство с использованием теоремы

В евклидовой геометрии есть теорема: если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Проведем любую прямую $c$, параллельную прямой $a$. Существование такой прямой гарантируется аксиомой параллельности.

Теперь у нас есть две параллельные прямые ($a$ и $c$) и третья прямая $b$. По условию, прямая $b$ пересекает прямую $a$.

Следовательно, согласно теореме, прямая $b$ должна пересекать и прямую $c$.

Это доказывает, что любая прямая, параллельная $a$, будет пересекать $b$.

Ответ: Да, можно.

321. Отрезки $AM$ и $CK$ – медианы треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отложен отрезок $MF$, а на продолжении отрезка $CK$ за точку $K$ – отрезок $KD$ так, что $MF = AM$, $KD = CK$. Докажите, что точки $B$, $D$ и $F$ лежат на одной прямой.