Номер 322, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 13. Параллельные прямые. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 322, страница 96.

322. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны прямой $c$, прямая $d$ пересекает прямую $a$. Пересекает ли прямая $d$ прямую $b$?

Ответ на этот вопрос зависит от того, рассматриваются ли данные прямые в одной плоскости (планиметрия) или в трехмерном пространстве (стереометрия), так как от этого зависит решение.

Случай 1: Все прямые лежат в одной плоскости.

Это стандартное предположение для задач такого типа, если иное не указано в условии. В этом случае рассуждения будут следующими:

1. Из условия мы знаем, что прямые a и b перпендикулярны прямой c. Это можно записать как $a \perp c$ и $b \perp c$.
2. Согласно теореме из планиметрии, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Таким образом, мы можем сделать вывод, что $a \parallel b$.
3. По условию также дано, что прямая d пересекает прямую a.
4. В соответствии со свойством параллельных прямых (которое является следствием аксиомы параллельности Евклида), если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
5. Так как $a \parallel b$ и прямая d пересекает прямую a, то отсюда следует, что прямая d также пересечет и прямую b.

Ответ: Да, в случае, если все прямые лежат в одной плоскости, прямая d пересекает прямую b.

Случай 2: Прямые расположены в трехмерном пространстве.

Если рассматривать задачу в рамках стереометрии, ответ будет иным, так как в пространстве исходные условия не гарантируют параллельности прямых a и b.

1. В пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, не обязательно являются параллельными. Они могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.
2. Чтобы доказать, что пересечение не является обязательным, достаточно привести один контрпример.
3. Введем прямоугольную систему координат Oxyz.
4. Пусть прямая c совпадает с осью Oz.
5. Пусть прямая a совпадает с осью Ox. Так как ось Ox перпендикулярна оси Oz, условие $a \perp c$ выполнено.
6. Пусть прямая b совпадает с осью Oy. Так как ось Oy перпендикулярна оси Oz, условие $b \perp c$ также выполнено.
7. В этом примере прямые a и b не параллельны, а пересекаются в начале координат.
8. Теперь зададим прямую d так, чтобы она пересекала прямую a, но не пересекала прямую b. Пусть прямая d проходит через точку (1, 0, 0) на прямой a и параллельна прямой c (оси Oz). Уравнения такой прямой d: $x=1, y=0$.
9. Прямая b (ось Oy) описывается уравнениями $x=0, z=0$. Для того чтобы прямые d и b пересеклись, должна существовать точка, удовлетворяющая обеим системам уравнений, но это невозможно, так как в одной системе $x=1$, а в другой $x=0$.
10. Следовательно, прямые d и b не пересекаются (они являются скрещивающимися).

Ответ: Нет, в пространстве прямая d не обязательно пересекает прямую b.

322. Луч OC разбивает угол AOB на два угла так, что $\angle AOC : \angle BOC = 3 : 5$. Найдите угол между лучом OC и биссектрисой угла, смежного с углом AOB, если $\angle BOC$ на $42^\circ$ больше $\angle AOC$.