Номер 314, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 13. Параллельные прямые. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 314, страница 95.

314. Начертите треугольник и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную противолежащей стороне.

Для решения этой задачи необходимо выполнить построение и проанализировать полученную геометрическую фигуру.

Построение:

1. Начертим произвольный треугольник и обозначим его вершины как $A$, $B$ и $C$.
2. Через каждую вершину треугольника проведем прямую, параллельную противолежащей стороне:
   • Через вершину $A$ проведем прямую, параллельную стороне $BC$.
   • Через вершину $B$ проведем прямую, параллельную стороне $AC$.
   • Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную стороне $AB$.
3. Эти три новые прямые пересекутся в трех точках, образуя новый, больший треугольник. Обозначим его вершины как $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Вершина $A_1$ будет лежать напротив стороны $B_1C_1$, и так далее.

Ниже представлен результат построения:

Анализ полученной фигуры:

Пусть вершины исходного треугольника – $A, B, C$, а вершины нового треугольника – $A_1, B_1, C_1$. Вершина $A_1$ – это точка пересечения прямых, проведенных через $B$ и $C$. Вершина $B_1$ – точка пересечения прямых, проведенных через $A$ и $C$. Вершина $C_1$ – точка пересечения прямых, проведенных через $A$ и $B$.

По построению имеем следующие параллельные прямые:

• $B_1C_1 \parallel BC$
• $A_1C_1 \parallel AC$
• $A_1B_1 \parallel AB$

Рассмотрим четырехугольники, образованные сторонами исходного и нового треугольников:

• Четырехугольник $ABCB_1$: так как $AB \parallel CB_1$ и $BC \parallel AB_1$ по построению, то $ABCB_1$ – параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны: $AB_1 = BC$ и $CB_1 = AB$.
• Четырехугольник $ACBC_1$: так как $AC \parallel BC_1$ и $BC \parallel AC_1$ по построению, то $ACBC_1$ – параллелограмм. Следовательно, $AC_1 = BC$ и $BC_1 = AC$.
• Четырехугольник $BC A_1 C$: так как $AB \parallel A_1C$ и $AC \parallel A_1B$, то $ABA_1C$ – параллелограмм. Следовательно, $A_1B = AC$ и $A_1C = AB$.

Докажем, что вершины исходного треугольника $ABC$ являются серединами сторон нового треугольника $A_1B_1C_1$:

• Точка A – середина стороны $B_1C_1$. Из свойств параллелограммов $ABCB_1$ и $ACBC_1$ имеем $AB_1 = BC$ и $AC_1 = BC$. Отсюда следует, что $AB_1 = AC_1$. Так как точка $A$ лежит на отрезке $B_1C_1$, то $A$ – его середина.
• Точка B – середина стороны $A_1C_1$. Из свойств параллелограммов $ABA_1C$ и $ACBC_1$ имеем $A_1B = AC$ и $C_1B = AC$. Отсюда следует, что $A_1B = C_1B$. Так как точка $B$ лежит на отрезке $A_1C_1$, то $B$ – его середина.
• Точка C – середина стороны $A_1B_1$. Из свойств параллелограммов $ABA_1C$ и $ABCB_1$ имеем $A_1C = AB$ и $B_1C = AB$. Отсюда следует, что $A_1C = B_1C$. Так как точка $C$ лежит на отрезке $A_1B_1$, то $C$ – его середина.

Таким образом, стороны исходного треугольника $ABC$ являются средними линиями нового треугольника $A_1B_1C_1$. Также можно заметить, что большой треугольник $A_1B_1C_1$ состоит из четырех треугольников, равных исходному треугольнику $\triangle ABC$. Это треугольники $\triangle ABC, \triangle AB_1C, \triangle BC_1A, \triangle CA_1B$.

Ответ: В результате построения образуется новый треугольник, для которого вершины исходного треугольника являются серединами его сторон.

314. На рисунке 219 $AB = CD$, $BC = AD$. Докажите. что $AB \parallel CD$.

Рис. 219